[論文レビュー] Generalization of Rellich-Kondrachov theorem and trace compacteness in the framework of irregular and fractal boundaries

Anna Rozanova-Pierrat|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非滑らかでフラクタル的境界をもつ領域に対して、Rellich-Kondrachov のコンパクト性定理およびトレース作用素のコンパクト性を一般化し、非アーフォルス正則 $d$-集合境界をもつ「Sobolev 合致領域」を導入する。不規則な設定下でのコンパクト埋め込みとトレース理論を用いて、ロビン境界条件を満たすポアソン方程式の弱解の存在・一意性およびスペクトル的性質を確立する。

ABSTRACT

We present a survey of recent results of the functional analysis allowing to solve PDEs in a large class of domains with irregular boundaries. We extend the previously introduced concept of admissible domains with a d-set boundary on the domains with the boundaries on which the measure is not necessarily Ahlfors regular d-measure. This gives a generalization of Rellich-Kondrachov theorem and the compactness of the trace operator, allowing to obtain, as for a regular classical case the unicity/existence of weak solutions of Poisson boundary valued problem with the Robin boundary condition and to obtain the usual properties of the associated spectral problem.

研究の動機と目的

• 古典的な Rellich-Kondrachov の定理およびトレース作用素のコンパクト性を、不規則でフラクタル的境界をもつ領域へ拡張すること。
• 境界がアーフォルス正則でない場合でも弱解が適切に定義されるような、より広いクラスの領域――Sobolev 合致領域――を定義すること。
• このような不規則な領域上でのロビン境界条件を満たすポアソン方程式に対して、弱解の存在と一意性を保証すること。
• これらの一般化された領域上で、Hilbert-Schmidt の定理を用いてラプラシアンのスペクトル的性質を確立すること。
• $d > n-1$ を満たす不規則な $d$-集合境界へ向けた $H^1$ における Poincaré 不等式およびコンパクト埋め込みを一般化すること。

提案手法

• 境界に全射的かつ連続的なトレース作用素とその連続的右逆を持つ有界領域として、Sobolev 合致領域の概念を導入する。
• アーフォルス正則性を超えた $d$-集合境界の概念を、ヴァン・コッホ曲線などの不規則でフラクタル的境界を含むように拡張する。
• Riesz の表現定理を用いて、等価ノルム $\|u\|_{\mathrm{Tr}}^2 = \int_\Omega |\nabla u|^2 dx + a \int_{\partial\Omega} |\mathrm{Tr}_{\partial\Omega}u|^2 d\mu$ を用いて、ロビン境界条件を満たすポアソン問題の弱定式化を定義する。
• 有界な Sobolev 合致領域に対して、コンパクト埋め込み $H^1(\Omega) \subset\subset L^2(\Omega)$ およびトレース作用素 $H^1(\Omega) \to L^2(\partial\Omega)$ のコンパクト性を確立する。
• コンパクトかつ自己随伴作用素 $T = A \circ i_{L_2(\Omega)}$ に Hilbert-Schmidt の定理を適用し、ラプラシアンのスペクトル的性質を導出する。
• Calderón-Stein の拡張定理および最近の $(\varepsilon,\infty)$-領域および $W_p^k$-拡張領域に関する結果を用いて、拡張およびトレースの性質を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーフォルス正則でない $d$-集合境界をもつ領域に対して、Rellich-Kondrachov のコンパクト性定理を一般化できるか？
• RQ2 $H^1(\Omega)$ から $L^2(\partial\Omega)$ へのトレース作用素がコンパクトであるための境界上の条件は何か？
• RQ3 フラクタル的または不規則な境界をもつ領域において、ロビン境界条件を満たすポアソン方程式の弱定式化は適切に定義されるか？
• RQ4 このような不規則な領域上でも、ラプラシアンのスペクトル的性質――離散的で正の固有値、有限重複度――は成り立つか？
• RQ5 $H^1$ 関数に対して、不規則な境界をもつ有界な Sobolev 合致領域上でも Poincaré 不等式を拡張できるか？

主な発見

• 境界測度がアーフォルス正則でない場合でさえも、有界な Sobolev 合致領域と $d$-集合境界をもつ領域に対して、Rellich-Kondrachov の定理が一般化される。
• 有界な Sobolev 合致領域に対して、埋め込み $H^1(\Omega) \subset\subset L^2(\Omega)$ はコンパクトであり、$L^2$ における弱コンパクト性を保証する。
• 境界がコンパクトな有界な Sobolev 合致領域に対して、トレース作用素 $\mathrm{Tr}: H^1(\Omega) \to L^2(\partial\Omega)$ はコンパクトである。
• すべての $f \in L^2(\Omega)$ および $a > 0$ に対して、ロビン境界条件を満たすポアソン問題は、$\|u\|_{\mathrm{Tr}} \leq C\|f\|_{L^2(\Omega)}$ を満たす一意な弱解 $u \in H^1(\Omega)$ をもつ。
• スペクトル問題 $ (u,v)_{\mathrm{Tr}} = \lambda (u,v)_{L^2} $ は、正の固有値 $\lambda_j \to \infty$ をもつ可算集合を持ち、それぞれ有限重複度をもつ。対応する固有関数は $L^2(\Omega)$ で正規直交基底、$H^1(\Omega)$ で直交基底をなす。
• Poincaré 不等式は、$u \in W^{1,p}(\Omega)$ に対して $ \left\|u - \frac{1}{\lambda(\Omega)}\int_\Omega u\,d\lambda \right\|_{L^p} \leq C\|\nabla u\|_{L^p} $ の形で成り立ち、$C$ は $Ω$、$p$、$n$ のみに依存する。