[논문 리뷰] Generalized boundary triples, Weyl functions and inverse problems

Vladimir Derkach, Seppo Hassi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 24.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 43인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 내 대칭 연산자의 맥락에서 경계 삼중체와 웨일 함수의 일반화된 프레임워크를 개발하며, 웨일 함수가 네바린느 가족 또는 클래스 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$에 속할 조건을 확립한다. 주요 기여는 웨일 함수를 통한 일반화된 경계 삼중체의 특성화로, 관련 제곱형식의 닫힘성과 參考 연산자 $A_0 = \ker \Gamma_0$의 본질적 자기수반성 사이의 연결을 맺는다. 응용은 점 상호작용 또는 혼합 경계 조건을 갖는 미분 연산자, 예를 들어 슈뢰딩거, 디랙, 라플라스 연산자에 대해 이루어진다.

ABSTRACT

With a closed symmetric operator $A$ in a Hilbert space ${\mathfrak H}$ a triple $Π=\{{\mathcal H},Γ_0,Γ_1\}$ of a Hilbert space ${\mathcal H}$ and two abstract trace operators $Γ_0$ and $Γ_1$ from $A^*$ to ${\mathcal H}$ is called a generalized boundary triple for $A^*$ if an abstract analogue of the second Green's formula holds. Various classes of generalized boundary triples are introduced and corresponding Weyl functions $M$ are investigated. The most important ones for applications are specific classes of (essentially) unitary boundary triples which guarantee that the Weyl functions of boundary triples are Nevanlinna functions on ${\mathcal H}$, or at least they belong to the class of Nevanlinna families. The boundary condition $Γ_0f=0$ determines a reference operator $A_0$. The case where $A_0$ is selfadjoint implies a relatively simple analysis, as the joint domain of the trace mappings $Γ_0$ and $Γ_1$ admits a von Neumann type decomposition. The case where $A_0$ is only essentially selfadjoint is more involved, but appears to be of great importance, for instance, in applications to PDEs and ODEs. Various classes of generalized boundary triples will be characterized in purely analytic terms via the Weyl function $M$. These characterizations involve solving direct and inverse problems for specific classes of (unbounded) operator functions $M$. One of the main results specifies the analytic properties of $M$ which guarantee that $A_0$ is essentially selfadjoint. In this study we also derive, for instance, Kre\uın-type resolvent formulas for the most general classes of unitary and isometric boundary triples appearing in the present work. All the main results are shown to have applications in the study of ordinary and partial differential operators.

연구 동기 및 목표

• 참고 연산자 $A_0 = \ker \Gamma_0$가 본질적으로 자기수반일 뿐만 아니라, 표준 자기수반 參考 연산자에 국한되지 않는 경계 삼중체 이론을 확장한다.
• 특히 $M(\cdot) \in \mathcal{R}(\mathcal{H})$ 또는 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$일 때 웨일 함수의 해석적 성질에 따라 일반화된 경계 삼중체를 특성화한다.
• 모든 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 에 대해 독립적으로, $\mathcal{H}$ 위에서 제곱형식 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ 의 닫힘성을 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 유니터리 및 등거리 경계 삼중체의 가장 일반적인 설정에서 크레인 유형의 해석식을 유도하여, 역문제 및 스펙트럼 이론에의 응용을 가능하게 한다.
• 개발된 프레임워크를 브러시하거나 리프시츠 경계를 갖는 영역에서의 라플라스 연산자, 점 상호작용을 갖는 슈뢰딩거 및 디랙 연산자, 혼합 경계값 문제 등 구체적인 연산자에 적용한다.

제안 방법

• 대칭 연산자 $A$ 의 수반 $A^*$ 에 대해 일반화된 경계 삼중체 $\Pi = \{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$ 를 도입하며, 추상적인 두 번째 그린 항등식을 만족시킨다.
• 웨일 함수 $M(\lambda) = \Gamma_1 (A^* - \lambda)^{-1} \Gamma_0^*$ 를 정의하고, $\mathbb{C}_\pm$ 에서 $\mathcal{H}$ 위의 유계 연산자로 사상하며, 그 해석적 성질을 분석한다.
• 특히 $M(\cdot) \in \mathcal{R}(\mathcal{H})$ 또는 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ 일 때, 웨일 함수가 네바린느 가족임을 보장하는 일반화된 경계 삼중체의 클래스를 특성화한다.
• 제곱형식 $\tau_{M(z)}(f,g)$ 를 도입하고, 參考 연산자 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 가 본질적으로 자기수반일 때에만 $\mathcal{H}$ 위에서 닫힘성을 보인다.
• von Neumann 유형의 분해를 통해 $\Gamma_0$ 와 $\Gamma_1$ 의 공동 정의역을 $A_0$ 와 결함 부분공간을 통해 분석하여 경계 삼중체의 구조를 분석한다.
• 이론을 실제 연산자에 적용한다: 브러시나 리프시츠 경계를 갖는 영역에서의 라플라스 연산자, 혼합 BVP, 점 상호작용을 갖는 디랙/슈뢰딩거 연산자에 대해, 명시적인 경계 삼중체와 웨일 함수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 경계 삼중체의 웨일 함수 $M(\cdot)$ 가 $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 또는 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ 에 속하는 네바린느 가족이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 제곱형식 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ 는 $\mathcal{H}$ 위에서 닫힐 수 있으며, 이 닫힘성은 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 의 선택에 따라 달라지는가?
• RQ3 참고 연산자 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 의 본질적 자기수반성과 웨일 함수 $M(\cdot)$ 의 해석적 성질 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 크레인 유형의 해석식은 가장 일반적인 설정인 유니터리 및 등거리 경계 삼중체로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 경계 삼중체가 $S$, $ES$, 또는 $B$ 형일 때의 필요 및 충분 조건은 무엇이며, 이는 웨일 함수와 경계 연산자의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 제곱형식 $\tau_{M(z)}(f,g)$ 의 닫힘성은 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 에 관계없이 동일하며, 參考 연산자 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 가 본질적으로 자기수반일 때에만 성립한다.
• 만약 $A_0$ 가 본질적으로 자기수반이라면, 웨일 함수 $M(\cdot)$ 는 $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 에 속하는 네바린느 가족이며, 형식 $\tau_{M(z)}$ 는 닫힘을 가지며, 이 닫힘은 $\mathbb{C}_\pm$ 에서의 해석적 이동에 대해 불변이다.
• 점 상호작용을 갖는 게즈테시-셰바 디랙 연산자에 대해, 해석식은 크레인 유형의 공식으로 주어진다: $(D_{X,\alpha} - \lambda)^{-1} = (D_0 - \lambda)^{-1} + \gamma(\lambda)(B_\alpha + Q - M(\lambda))^{-1}\gamma(\bar{\lambda})^*$, $\lambda \in \rho(D_{X,\alpha}) \cap \rho(D_0)$ 에 대해 유효하다.
• 직합을 통한 일반화된 경계 삼중체 $\widetilde{\Pi}$ 는 $ES$-일반화된 경계 삼중체이지만, $d_* = 0$ 이면 $S$-일반화된 경계 삼중체가 아니며, 엄밀한 포함관계 $\text{dom}\,M(z) \subsetneq \widetilde{\Gamma}_0(\text{dom}\,D_{X,*})$ 가 존재하기 때문이다.
• 역경계 삼중체 $\Pi^\top$ 의 웨일 함수는 $-\widetilde{M}(\cdot)^{-1}$ 이며, $\mathcal{R}^s[\mathcal{H}]$ 에 속하므로 $\Pi^\top$ 는 $B$-일반화된 경계 삼중체이다.
• 직합 경계 삼중체 $\widetilde{\Pi}$ 에 대해 웨일 함수 $\widetilde{M}(z)$ 는 $d_n \to 0$ 일 때 $\widetilde{M}_n(z) \sim d_n \begin{pmatrix} z - c^2/2 & 0 \\ 0 & c^{-2}(z + c^2/2) \end{pmatrix}$ 를 만족하며, 형식의 정의역은 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\text{Im}\,K(z)h_n, h_n)}{d_n} < \infty$ 를 만족하는 $\{h_n\} \in l^2(\mathbb{N}) \otimes \mathbb{C}^2$ 로 특성화된다.