[論文レビュー] Generalized Drinfeld-Sokolov Hierarchies II: The Hamiltonian Structures

Nigel J. Burroughs, Mark F. de Groot+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 1991

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 59

ひとこと要約

本稿では、一般化されたDrinfeld-Sokolov KdV階層の双ハミルトニアン構造を確立し、両方のハミルトニアン構造がKac-Moody代数上のKirillov括弧で実現されることを示している。特に第二の構造は、$W_n^{(l)}$を含む古典的拡張随伴代数、たとえば$W_3^{(2)}$を特別な場合として含む。部分的に修正された階層からKdV階層へのMiura写像がハミルトニアン写像であることが証明され、KdVの場合の一般化として高ランク代数にまで拡張されている。

ABSTRACT

In this paper we examine the bi-Hamiltonian structure of the generalized KdV-hierarchies. We verify that both Hamiltonian structures take the form of Kirillov brackets on the Kac-Moody algebra, and that they define a coordinated system. Classical extended conformal algebras are obtained from the second Poisson bracket. In particular, we construct the $W_n^l$ algebras, first discussed for the case $n=3$ and $l=2$ by A. Polyakov and M. Bershadsky.

研究の動機と目的

• 一般化されたDrinfeld-Sokolov可積分階層のハミルトニアン形式を完成させること。これらは以前に構成されていたが、ハミルトニアン解析が欠けていた。
• 一般化されたKdV階層の二つのポアソン構造が整合的であることを確認し、非自明な双ハミルトニアン系を保証すること。
• 第二のハミルトニアン構造が、KdVの場合のVirasoro代数を一般化した、$W_n^{(l)}$のような古典的拡張随伴代数を実現することを示すこと。
• 部分的に修正されたKdV階層からKdV階層へのMiu写像がハミルトニアン写像であることを証明し、修正済み階層と標準階層をポアソン構造を通して結びつけること。

提案手法

• 階層の位相空間に二つのポアソン括弧を提案し、中心拡張を伴うKac-Moody代数$\hat{g}$上のKirillov括弧として実現する。
• 両括弧の反対称性とヤコビ恒等式を検証し、任意の$\mu$に対して$\{\cdot,\cdot\} = \{\cdot,\cdot\}_1 + \mu\{\cdot,\cdot\}_2$という一パrameter族がポアソン括弧を形成することを証明することで、両構造の整合性を示す。
• 第二のハミルトニアン構造を中心拡張を伴うKac-Moody代数として構成し、Virasoro生成子のSugawara構成が可能であることを示す。
• 第二のハミルトニアンフローにおいて、場$f$が定数であることを示し、代数的構造と整合することを保証する。
• 部分的に修正されたKdV階層からKdV階層へのMiura写像がハミルトニアン写像であることを証明し、ポアソン構造を保存することを示す。
• 具体例に適用し、非-twist Kac-Moody代数、分数階KdV階層、$W_n^{(l)}$代数を含め、一般結果の妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたDrinfeld-Sokolov KdV階層は、二つの整合的ポアソン括弧を持つ双ハミルトニアン構造を有するか？
• RQ2 これらの階層の第二のハミルトニアン構造は、$W_n^{(l)}$のような古典的拡張随伴代数を実現するか？
• RQ3 部分的に修正されたKdV階層からKdV階層へのMiura写像は、ポアソン構造を保存するハミルトニアン写像か？
• RQ4 ハミルトニアンフローは、第二のポアソン構造におけるKac-Moody代数およびその中心拡張とどのように関係するか？
• RQ5 第二のハミルトニアン構造における場$f$の役割は何か？なぜ$f$は階層フローに対して定数であるのか？

主な発見

• 一般化されたKdV階層の二つのハミルトニアン構造は、中心拡張を伴うKac-Moody代数$\hat{g}$上のKirillov括弧として実現され、第二の構造には中心拡張が含まれる。
• 第二のポアソン括弧代数はVirasoro代数を部分代数として含み、一般に$1 \leq l \leq n-1$に対して古典的$W_n^{(l)}$代数を実現する。これは、PolyakovとBershadskyが発見した$W_3^{(2)}$代数を一般化したものである。
• 部分的に修正されたKdV階層からKdV階層へのMiura写像はハミルトニアン写像であり、前者の単一ハミルトニアン構造と、後者の第二のハミルトニアン構造を結びつける。
• 場$f$は、第二のハミルトニアンフローにおいて運動量として定数であるが、第二のポアソン代数の中心に属するわけではない。これは、すべてのハミルトニアン$H$に対して$\{f(x), H\}_2 = 0$であるためである。
• 第二のハミルトニアン構造は、任意の共形変換に対して不変であり、階層方程式の準同次性を反映している。
• 本形式は、KdVの場合に第二の構造がVirasoro代数であるのを一般化し、高ランクリー代数および拡張随伴代数にまで拡張されている。