[論文レビュー] Generalized Eigenvalue Complementarity Problem for Tensors

Zhongming Chen, Qingzhi Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、テンソルにおける一般化固有値補完問題（GEiCP-T）を導入し、その理論的基盤を確立するとともに、対称ケースに対してシフト付き投影パワー法を提案する。解の存在・一意性の条件を証明し、解法のNP困難性を示し、アルゴリズムの単調収束性を数値的検証で裏付けた。

ABSTRACT

In this paper, the generalized eigenvalue complementarity problem for tensors (GEiCP-T) is addressed, which arises from the stability analysis of finite dimensional mechanical systems and find applications in differential dynamical systems. The general properties of the (GEiCP-T) have been studied. We establish its relationship with the generalized tensor eigenvalue problem. It follows that if exist, the number of $λ$-solutions can be bounded. We also give some sufficient conditions for the existence of the solution. In particular, there exists a unique solution of the (EiCP-T) (i.e., $J=[n]$) for irreducible nonnegative tensors. For the symmetric case, we derive a sufficient and necessary condition for the solvability of the (GEiCP-T) by reformulating it as a nonlinear program. It has also been proved that deciding the solvability of the (EiCP-T) is NP-hard in general. Moreover, a shifted projected power method is proposed to solve the symmetric (GEiCP-T). The monotonic convergence is also established. The numerical experiments demonstrate convergence behavior of our method and show that the algorithm presented is promising.

研究の動機と目的

• 機械的安定性および微分力学系に現れるテンソルの一般化固有値補完問題（GEiCP-T）を調査すること。
• GEiCP-Tの理論的性質を確立すること。特に、存在性、一意性、およびλ解の数の上限に関する性質。
• 非線形計画問題に再定式化することで、対称ケースにおける解法可能性の必要十分条件を導出すること。
• 単調収束性が保証されるように設計されたシフト付き投影パワー法を提案・分析し、対称GEiCP-Tを解くこと。
• 数値実験を通じて、アルゴリズムの有効性を示し、収束特性を検証すること。

提案手法

• 対称GEiCP-Tを非線形最適化問題に再定式化し、解法可能性の必要十分条件を導出する。
• 投影およびシフト機構を組み込んだ、対称テンソルに特化したシフト付き投影パワー法を提案する。
• 反復更新のダイナミクスと降下性を分析することで、アルゴリズムの単調収束性を確立する。
• GEiCP-Tと一般化テンソル固有値問題の関係を用いて、λ解の数の上限を導出する。
• 非正則非負テンソルに関する理論的結果を応用し、特定の条件下で一意解が存在することを証明する。
• 数値実験を用いて、提案手法の収束性および性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化固有値補完問題（GEiCP-T）が解を持つ条件は何か？また、そのλ解は最大で何個存在しうるか？
• RQ2 GEiCP-Tと一般化テンソル固有値問題との関係は何か？この関係を用いて解の数を上限づけることができるか？
• RQ3 EiCP-T（GEiCP-Tの特殊ケース）の解法可能性は一般にNP困難であるか？その意味は何か？
• RQ4 対称GEiCP-Tの解法可能性を保証する必要十分条件は何か？また、非線形計画問題の定式化からどのように導出できるか？
• RQ5 単調収束性が保証されるように設計されたシフト付き投影パワー法を、対称GEiCP-Tを解くために設計可能か？数値的にその性能はいかがであるか？

主な発見

• GEiCP-Tのλ解の数は、一般化テンソル固有値問題との関係に基づいて上限づけられる。
• テンソルが非正則かつ非負である場合、EiCP-Tには一意解が存在する。
• EiCP-Tの解法可能性を決定することは一般にNP困難であり、任意のインスタンスに対して計算的に困難であることを示唆する。
• 対称GEiCP-Tにおいて、非線形計画問題への再定式化により、解法可能性の必要十分条件が導出された。
• 提案されたシフト付き投影パワー法は、対称GEiCP-Tに対して単調収束性を示し、信頼性の高い反復値が得られる。
• 数値実験により収束特性が確認され、実用的計算において本手法の有効性が示された。