[論文レビュー] Generalized Hunter-Saxton equation and geometry of the circle diffeomorphism group

Boris Khesin, Gerard Misiołek+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、磁場および自己相互作用下での液体結晶内の回転粒子をモデル化する一般化されたハンター＝サクストン方程式を導入する。この方程式は、円の微分同相群上での右不変Sobolevノルムを備えたEuler方程式として定式化され、局所的well-posedness、双ハミルトニアン構造、および滑らかでない（くちばし型の）移動波解を含む両方のタイプの解の存在を示している。KdV、CH、HS方程式とは異なり、独自の幾何学的および力学的特徴を有する。

ABSTRACT

We study an equation lying `mid-way' between the periodic Hunter-Saxton and Camassa-Holm equations, and which describes evolution of rotators in liquid crystals with external magnetic field and self-interaction. We prove that it is an Euler equation on the diffeomorphism group of the circle corresponding to a natural right-invariant Sobolev metric. We show that the equation is bihamiltonian and admits both cusped, as well as smooth, traveling-wave solutions which are natural candidates for solitons. We also prove that it is locally well-posed and establish results on the lifespan of its solutions. Throughout the paper we argue that despite similarities to the KdV, CH and HS equations, the new equation manifests several distinctive features that set it apart from the other three.

研究の動機と目的

• ハンター＝サクストン方程式とカマッサ＝ホルム方程式の間を補間する新しい偏微分方程式を調査すること。
• 方程式の幾何学的起源を、右不変Sobolevノルムを備えた円の微分同相群上でのEuler方程式として確立すること。
• 双ハミルトニアン構造を含む、方程式の可積分性の性質を分析すること。
• 移動波解の存在と性質を同定し、滑らかでない（くちばし型の）解を含む。
• KdV、CH、HS方程式と比較して、構造的類似性があるものの、独自の幾何学的および力学的特徴によって本質的に異なる点を明らかにすること。

提案手法

• 右不変Sobolevノルムを用いた円の微分同相群上でのEuler方程式として方程式を定式化する。
• 無限次元リー群のRiemann幾何学的手法を用いて方程式の構造を分析する。
• ハミルトニアン形式を用いて、方程式の双ハミルトニアン性を示す。
• 移動波解を構築・分類し、滑らかでない（くちばし型の）プロファイルを同定する。
• エネルギー推定とSobolev空間内での流れの正則性を用いて、局所的well-posednessを確立する。
• 保存量と崩壊基準を用いて、解の存続期間を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい方程式は、円の微分同相群に対してどのように幾何学的に関連しているか？
• RQ2 方程式の可積分性の性質、特に双ハミルトニアン構造は何か？
• RQ3 どのような種類の移動波解が存在するのか？KdV、CH、HS方程式の解とはどのように異なるか？
• RQ4 局所的well-posednessを保証する条件は何か？解の存続期間を制御する要因は何か？
• RQ5 構造的類似性があるものの、KdV、カマッサ＝ホルム、ハンター＝サクストン方程式とは、どのような点で根本的に異なるか？

主な発見

• 方程式が右不変Sobolevノルムを備えた円の微分同相群上でのEuler方程式であることが示され、幾何学的起源が確立された。
• 方程式は双ハミルトニアン構造を有しており、可積分性および無限個の保存量の存在を示している。
• 滑らかでない（くちばし型の）移動波解を含む両方のタイプの解が存在し、くちばし型の解はソリトンの自然な候補である。
• Sobolev空間において局所的well-posedであることが示され、初期データの正則性に応じた有限時間の解の存在が保証された。
• 解の存続期間はエネルギーおよび高階ノルムによって制御され、特定の初期条件では崩壊が起こり得る。
• KdV、CH、HS方程式と類似しているものの、独自の幾何学的および力学的特徴を示しており、特徴的な解のプロファイルとメトリック構造を持つ。