[論文レビュー] Generalized Krein formula and determinants for Poincare-Einstein manifolds

Colin Guillarmou|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、偶数次元のPoincaré-Einstein多様体に対して一般化されたKreinスペクトル関数 ξ を導入し、Kontsevich-Vishik 2トレースを介して散乱作用素と関連付ける。散乱作用素の行列式をλに関してメロモルフィックな共形不変量として定義し、ξ を det S(λ) の位相と関係づけ、凸コアクトゥルーハイパーボリック多様体における共形ラプラシアン Pk の行列式をSelbergゼータ関数で表現する。

ABSTRACT

Abstract. We define for a class of even dimensional asymptotically hyperbolic manifold (X, g) a natural generalized Krein spectral function ξ (on R) with derivative the renormalized trace of the spectral measure of the Laplacian. It is related to the scattering operator S(λ) of ∆g by −2πi∂zξ(z) = TR(∂zS ( n 2 + iz)S−1 ( n − iz)) where TR is the Kontsevich-Vishik 2 trace. For even Poincaré-Einstein metrics, we define the determinant of S(λ) using methods of Kontsevich-Vishik and show that it is a conformal invariant of the conformal boundary (M,[h0]) depending meromorphically on λ, with divisors given by the resonances multiplicity and the dimensions of kernels of the conformal Laplacians (Pk)k∈N of [h0]. We finally prove that ξ is the phase of det S(λ) on the essential spectrum, we compute the determinant of Pk with respect to ξ and, as an application, det Pk is expressed explicitly in term of the Selberg zeta function for convex co-compact hyperbolic manifolds. 1.

研究の動機と目的

• 偶数次元の漸近的に双曲的多様体に対して一般化されたKreinスペクトル関数 ξ を定義すること。
• Kontsevich-Vishik 2トレースを介して、ラプラシアン ∆g のスペクトル測度の正規化トレースと ξ を関連付けること。
• Kontsevich-Vishik の手法を用いて、Poincaré-Einstein計量における散乱作用素 S(λ) の行列式を構成すること。
• det S(λ) が境界 (M, [h0]) の共形不変量として、λ に関してメロモルフィックであることを示すこと。また、極と零点が共鳴状態と Pk の核の次元に対応することを示すこと。
• ξ を本質的スペクトル上での det S(λ) の位相と特定し、det Pk をSelbergゼータ関数の形で表現すること。

提案手法

• ラプラシアン ∆g のスペクトル測度の正規化トレースを用いて、R 上で一般化されたKrein関数 ξ(z) を定義する。
• Kontsevich-Vishik 2トレース TR を用いて、−2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz)) の関係を導出する。
• Kontsevich-Vishik理論を適用して、Poincaré-Einstein計量における散乱作用素 S(λ) の行列式を定義する。
• det S(λ) が λ に関してメロモルフィック関数であり、境界計量 [h0] の共形変換に対して不変であることを証明する。
• det S(λ) の零点と極が、共鳴状態の重複度および共形ラプラシアン (Pk)k∈N の核の次元に対応することを示す。
• ξ(z) が本質的スペクトル上での det S(λ) の位相に一致することを確立し、det Pk をSelbergゼータ関数の形で計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元の漸近的に双曲的多様体に対して、一般化されたKreinスペクトル関数 ξ をどのように定義できるか？
• RQ2 Kontsevich-Vishik 2トレースを介して、ξ と散乱作用素 S(λ) の正確な関係は何か？
• RQ3 境界 (M, [h0]) 上で、det S(λ) は共形不変量としてどのように振る舞うか？
• RQ4 本質的スペクトル上での det S(λ) の位相としての ξ の役割は何か？
• RQ5 共形ラプラシアン Pk の行列式を、Selbergゼータ関数を用いて明示的に表現できるか？

主な発見

• 一般化されたKrein関数 ξ は偶数次元の漸近的に双曲的多様体に対して定義され、−2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz)) を満たす。
• 散乱作用素 S(λ) の行列式は、境界 (M, [h0]) の共形不変量としてメロモルフィックであり、共鳴状態で極を持ち、Pk の核の次元で零点を持つ。
• ξ(z) は本質的スペクトル上での det S(λ) の位相として特定され、スペクトルデータと散乱理論を結びつける。
• 各共形ラプラシアン Pk の行列式は、凸コアクトゥルーハイパーボリック多様体に対してSelbergゼータ関数の形で明示的に計算可能である。
• 本構成により、境界上での幾何的作用素の行列式を介して、Selbergゼータ関数のスペクトル的実現が得られる。
• 本手法により、散乱理論、スペクトル不変量、および数論的ゼータ関数の間の深い関係が確立される。