[論文レビュー] Generalized Mariño-Vafa Formula and Local Gromov-Witten Theory of Orbi-curves

Zhengyu Zong|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限アーベル群 $G$ の分類スタック $×$ の安定写像のモジュライ空間上のホッジ積分に対して一般化されたマリーノ＝バーファの公式を確立し、有効な脚を持つオルビフォルド・グロモフ＝ミラー・バーテックスの公式を提供する。この場合におけるグロモフ＝ミラー／ドナルドソン＝トーマス対応を証明し、カルラヤ・三つのオルビフォルド多様体内のオルビカーブの局所グロモフ＝ミラー不変量を計算する応用を行う。これにより、頂点形式論をオルビフォルド設定に拡張する。

ABSTRACT

We prove a generalized Mariño-Vafa formula for Hodge integrals over $\Mbar_{g, γ-μ}(\cB G)$ with $G$ an arbitrary finite abelian group. Then we use this formula to study the local Gromov-Witten theory of an orbi-curve with cyclic stack points in a Calabi-Yau three-orbifold.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群 $G$ に対して、$×$ の安定写像のモジュライ空間上のホッジ積分に対するマリーノ＝バーファの公式を一般化し、オルビフォルド設定への1脚頂点形式論を拡張すること。
• オルビフォルド1脚頂点に対してグロモフ＝ミラー／ドナルドソン＝トーマス対応を確立し、変数変換の下でオルビフォルド GW 頂点生成関数とオルビフォルド DT 頂点公式が等価であることを証明すること。
• 一般化された公式を用いて、カルラヤ・三つのオルビフォルド多様体内のサイクリックなスタック点を持つオルビカーブの局所グロモフ＝ミラー不変量を計算すること。
• サイクリックなオルビフォルド点を持つオルビフォルドカルラヤ・三つの多様体に対する局所グロモフ＝ミラー理論の頂点形式論を拡張すること。
• 接続不変量の生成関数を、接続法則とオルビフォルドホッジ積分の計算を用いて得ること。

提案手法

• 有限アーベル群 $G$ に対して、$×$ のモジュライ空間 $×$ 上のホッジ積分に対する一般化されたマリーノ＝バーファの公式を、下降クラスおよび $G$ の既約表現に関連するホッジ bundle を用いて導出する。
• 有効な脚と分岐データを伴うオルビフォルド・グロモフ＝ミラー不変量を符号化する生成関数 $G_{\mu,\gamma}(\lambda;\tau)_a$ および $G^\bullet(\lambda;\tau;p;x)_a$ を定義する。
• 変数変換の下で、オルビフォルド GW 頂点生成関数が [4] におけるオルビフォルド DT 頂点公式と一致することを示すことにより、GW/DT 対応を証明する。
• オルビフォルド・リーマン・ロッホの公式を用いてホッジ bundle $E^R$ のランクを計算し、特徴類 $\Lambda^{\vee,R}_g(u)$ を定義する。
• 相対不変量のための接続法則を用い、種数およびオルビフォルドデータ $\overrightarrow{\alpha}, \overrightarrow{a}$ に沿ってモジュライ空間を分割することで、計算を種数 0 の場合に還元する。
• $Z_d(0)(\lambda;x)_{(\mu),(a)}$ を、定理 2.1 の変数変換を用いて表される生成関数 $K^\bullet_\mu(\lambda;x)$ と関連づけ、シュール関数を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベル群 $G$ に対して、$×$ のオルビフォルド・グロモフ＝ミラー不変量に対する一般化されたマリーノ＝バーファの公式は存在するか？ これは古典的公式をオルビフォルド設定に拡張するものであるか？
• RQ2 特に有効な脚を持つ $\mathbb{Z}_a$-オルビフォルドに対して、1脚オルビフォルド頂点におけるグロモフ＝ミラー／ドナルドソン＝トーマス対応は成立するか？
• RQ3 カルラヤ・三つのオルビフォルド多様体内のサイクリックなスタック点を持つオルビカーブの局所グロモフ＝ミラー理論は、この一般化された公式を用いて計算可能か？
• RQ4 オルビフォルド構造は、局所グロモフ＝ミラー理論における相対不変量の接続法則および生成関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 種数 0 の場合における局所不変量の生成関数の正確な形は何か？ そして、シュール関数や対称関数論とどのように関連するか？

主な発見

• 有限アーベル群 $G$ に対して、$×$ 上のホッジ積分に対する一般化されたマリーノ＝バーファの公式が確立され、有効な脚を持つ1脚オルビフォルド・グロモフ＝ミラー頂点の生成関数が得られた。
• オルビフォルド1脚頂点におけるGW/DT対応が証明された：変数変換の下で、オルビフォルドGW頂点生成関数は[4]のオルビフォルドDT頂点公式と一致する。
• カルラヤ・三つのオルビフォルド多様体内のオルビカーブの局所グロモフ＝ミラー不変量は、公式 $\lambda^{-\frac{d}{a}}Z_d(0)(\lambda;\lambda^{\frac{1}{a}-1}x_1,\ldots,\lambda^{\frac{a-1}{a}-1}x_{a-1})_{(\mu),(a)} = \sqrt{-1}^{d-l(\mu)}(q^{\frac{1}{2}}q_1^{-\frac{1}{a}}\cdots q_{a-1}^{-\frac{a-1}{a}})^{|μ|}\sum_{|ν|=|μ|}s_{\nu'}(-q_\bullet)\frac{\chi_\nu(\mu)}{z_\mu}$ を用いて計算された。
• 生成関数 $K^\bullet_\mu(\lambda;x)$ はシュール関数と変数変換を用いて表現され、オルビフォルド不変量が対称関数論と結びついた。
• 相対不変量の接続法則がオルビフォルド設定に拡張され、分岐データ $\overrightarrow{\alpha}$ およびオルビフォルド構造 $\overrightarrow{a}$ の両方が分割され、頂点形式論の構造が保たれた。
• この公式により、$\mathbb{Z}_a$-スタック点を持つオルビカーブの種数 0 の局所不変量が完全に計算可能となり、問題は対称関数の恒等式およびキャラクター理論に還元された。