[論文レビュー] Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Geometry of Physical Field

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2000

Advanced Differential Geometry Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$J^1(T,M)$ 上の一般化された計量的多時刻ラグランジュ幾何学枠組みを導入し、垂直計量的 d-テンソル $G^{(\beta)(\beta)}_{(i)(j)}$ とカルタンの標準接続を用いて重力場理論と電磁気場理論を統一する。主な貢献は、一般化ラグランジュ設定における多時刻微分幾何学および曲率恒等式を用いて、アインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式の新しい幾何学的自然形を導出すること、ならびに修正された保存則を提示することにある。

ABSTRACT

The paper developes a geometrization of a Kronecker $h$-regular vertical fundamental metrical d-tensor $G^{(α)(β)}_{(i)(j)}$ on the jet fibre bundle of order one $J^1(T,M)$. This geometrization gives a mathematical model for both gravitational and electromagnetic field theory, in a general setting. In this context, the Einstein and Maxwell equations are described.

研究の動機と目的

• 本稿は、$J^1(T,M)$ 上の一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間を用いて物理的場の幾何学的枠組みを構築することを目的とする。
• 時間空間 $T$ 上の多時刻ラグランジュ関数および半リーマン計量を用いて、重力場理論と電磁気場理論を一つの幾何的構造に統一することを目的とする。
• 曲率および接続の恒等式を用いて、多時刻設定におけるアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式の自然形を導出することを目的とする。
• 一般化された計量的多時刻幾何学を用いて、重力場および電磁気場の保存則を再定式化することを目的とする。
• 理論を $J^2(T,M)$ のような高次のジェット空間へ拡張する基盤を確立することを目的とする。

提案手法

• 時間空間 $T$ 上の半リーマン計量 $h_{\alpha\beta}$ と多時刻ラグランジュ関数 $L$ を用いて、1-ジェットバンドル $J^1(T,M)$ 上に一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間 $GML^n_p$ を構築する。
• 重力場と電磁気場の構造を統合的に記述する、$J^1(T,M)$ 上の垂直基本計量的 d-テンソル $G^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ を定義する。このテンソルは対称的で、定数の符号型を持つ。
• 多時刻枠組みにおける時間成分と空間成分の相互作用をモデル化するために、固定された空間的非線形接続 $N^{(i)}_{(\alpha)j}$ を導入する。
• 計量的 d-テンソルからカルタンの標準接続 $C\Gamma$ を導出し、$h$-および $v$-共変微分と整合性を持つようにする。条件は $g_{ij|k}=0$ および $g_{ij}|_k=0$ で与えられる。
• カルタン接続のビアンキ恒等式を適用して、曲率に基づく場の方程式を導出する。これには $R^{l}_{pij|k} - R^{(m)}_{(\mu)ij}P^{l(\mu)}_{pk(m)}=0$ が含まれる。
• 新しいストレステンソル d-テンソル $\tilde{\cal T}_{\alpha\beta}$, $\tilde{\cal T}_{ij}$, および $\tilde{\cal T}^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ を構築し、テンソルの縮約および曲率恒等式を用いて修正された保存則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多時刻ラグランジュ幾何学を用いて $J^1(T,M)$ 上で重力場と電磁気場の統一的幾何的枠組みを構築する方法は何か？
• RQ2 一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間におけるアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式の自然形は何か？
• RQ3 この枠組みにおいて、曲率および接続の恒等式から重力場および電磁気場の保存則はどのように導かれるか？
• RQ4 カルタンの標準接続は、場の方程式およびエネルギー運動量テンソルの統一にどのような役割を果たすか？
• RQ5 理論は $J^2(T,M)$ のような高次のジェット空間へ拡張可能か？その場合の意味は何か？

主な発見

• 本稿は、一般化された計量的多時刻ラグランジュ枠組みにおいて、曲率テンソル $R_{ij}$, $S_{ij}$、およびエネルギー運動量成分 ${\cal T}^{H}_{ij}$, ${\cal T}^{V}_{ij}$ を用いて、新しい幾何学的自然形のアインシュタイン方程式を導出している。
• 電磁気場のマクスウェル型方程式はカルタンの標準接続から導出され、$F_{ij}$ および $f_{ij}$ の成分は $R^{r}_{jk}$ および $C^{m}_{ik}$ を含む曲率恒等式に従う。
• 重力場の新しい保存則は $\tilde{\cal T}^{\mu}_{\beta/\mu} + \frac{1}{2-n}\tilde{\cal T}_{M/\beta} + \frac{1}{2-pn}\tilde{\cal T}_{v/\beta} = -R^{m}_{\beta|m} - P^{(m)}_{(\mu)\beta}|^{(\mu)}_{(m)}$ として表現され、標準的なエネルギー運動量保存則を一般化している。
• 曲率 d-テンソル $P^{l(\mu)}_{pi(m)}$ および $S^{l(\alpha)(\mu)}_{p(i)(m)}$ が消える場合、保存則は $\tilde{\cal T}^{\mu}_{\beta/\mu}=0$, $\tilde{\cal T}^{m}_{i|m}=0$, および $\tilde{\cal T}^{(m)(\alpha)}_{(\mu)(i)}|^{(\mu)}_{(m)}=0$ に簡略化され、平坦極限における標準的保存則と整合的であることが示された。
• 本枠組みは、$J^1(T,M)$ 上の単一の d-テンソル $G^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ を用いて、重力場と電磁気場を自然に統合している。電磁気的2形式 $F = F_{ij}\delta y^i \wedge dx^j + f_{ij}\delta y^i \wedge \delta y^j$ は、リウヴィルベクトルおよび計量的構造から導出される。
• 理論はミロンとアスタセイの元々の一般化ラグランジュ場理論と整合的であることが示され、より豊かな幾何的・物理的構造を持つ多時刻設定に拡張されている。