[論文レビュー] Generalized n-metric spaces and fixed point theorems

Kamran Alam Khan|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$K$-metric空間の対称的拡張として、$n \geq 3$ 点への一般化された $n$-metric空間 $G_n$ を導入する。$G$-metricを $n \geq 3$ に一般化し、$0 \leq k < 1/2$ を満たす $k$-収縮条件を満たす写像に対して、完備性と一般化連続性のもとで固定点の存在と一意性を保証する固定点定理を確立する。

ABSTRACT

Gähler ([3],[4]) introduced the concept of 2-metric as a possible generalization of usual notion of a metric space. In many cases the results obtained in the usual metric spaces and 2-metric spaces are found to be unrelated (see [5]). Mustafa and Sims [8] took a different approach and introduced the notion of $G$-metric. The author [6] generalized the notion of G-metric to more than three variables and introduced the concept of $K$-metric as a function $K\colon X^n o \mathbb{R}^+$, $(n\ge 3)$. In this paper, We improve the definition of $K$-metric by making symmetry condition more general. This improved metric denoted by $G_n$ is called the Generalized $n$-metric. We develop the theory for generalized $n$-metric spaces and obtain some fixed point theorems.

研究の動機と目的

• $G$-metricおよび$K$-metric空間の概念を、$n \geq 3$ 点に一般化するため、より対称的かつ一般化された $n$-metric、$G_n$ を導入することで、従来の枠組みの制限を克服すること。
• $G_n$-空間における収束、コーシー列、および高次元点配置における連続性をサポートする、位相的および距離的構造を構築すること。
• $G_n$-空間における自己写像に対して、$k < 1/2$ の一般化収縮条件のもとで、完備性の下で固定点の存在と一意性を保証する固定点定理を確立すること。
• 固定点定理の支持を目的とした、$G_n$-空間に特化した新しい連続性概念、一般化 $r$-連続性を定義・分析すること。

提案手法

• 五つの公理を満たす $G_n: X^n \to \mathbb{R}^+$ を定義する：(G1) 全ての点が等しいときに限り0に；(G2) $n-1$ 個の点が等しく、1つだけ異なるときに正；(G3) 混在配置の下限；(G4) 全置換対称性；(G5) 一般化された三角不等式。
• $\mathbb{R}$ や距離空間上での $G_n$-metric の例を構成する。最大距離 $\rho(x_1,\dots,x_n) = \max_{r \neq s} |x_r - x_s|$ や、和ベースまたは最大値ベースの $K$-metric の構成を含む。
• 一般化された三角不等式 (G5) を用いて、$G_n$-空間がコーシー列および $G_n$-収束を支持することを証明する。項間の距離をバインドする。
• 収縮条件を確立：$G_r(fx, fy, \dots, fy) \leq k \cdot \text{max}\{ \text{項のうち } x, y, fx, fy \}$ で、$0 \leq k < 1/2$ を満たす。この条件により、列の成長を制御する。
• (G5) と収縮条件から導かれる再帰的不等式を用い、$G_r(y_n, y_{n+1}, \dots, y_{n+1}) \leq q^n G_r(y_0, y_1, \dots, y_1)$ で $q = k/(1-k) < 1$ を示し、コーシー収束を証明する。
• 完備性と背理法を用いて固定点の存在を証明する：$fu \neq u$ を仮定すると $G_r(u, fu, \dots, fu) \leq k G_r(u, fu, \dots, fu)$ が得られ、$k < 1/2$ の下では不可能。一意性は対称的バインドから導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-metricおよび$K$-metricの枠組みを、より対称的かつ強固な距離構造を持つ $n \geq 3$ 点に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 $G_n$-空間における反復によって生成される列がコーシー列であり、固定点に収束するための条件は何か？
• RQ3 $k < 1/2$ の定数を用いた $G_n$-空間における収縮写像原理を確立できるか。また、一般化された対称性 (G4) はこの定理において果たす役割は何か？
• RQ4 一般化 $r$-連続性は標準的連続性とどのように異なるのか。なぜ $G_n$-空間における固定点定理のためには不可欠なのか？
• RQ5 $G_r(y_n, y_{n+1}, \dots, y_{n+1}) \leq \frac{k}{1-k} G_r(y_{n-1}, y_n, \dots, y_n)$ の不等式が反復列の収束に与える影響は何か？

主な発見

• $G_n$-metric空間構造は適切に定義されており、完全な置換対称性 (G4) を満たしており、循環シフトのみを尊重する $K$-metric よりもより強固である。
• $y_n = f^n y_0$ で定義される列 $\langle y_n \rangle$ は、完備な $G_n$-空間において $G_r$-コーシー列である。$q = k/(1-k) < 1$ を用いて、$G_r(y_n, y_{n+1}, \dots, y_{n+1}) \leq q^n G_r(y_0, y_1, \dots, y_1)$ のバインドにより示される。
• $0 \leq k < 1/2$ を満たす任意の写像 $f$ に対して、固定点 $u$ は一意に存在する。$fu \neq u$ を仮定すると $G_r(u, fu, \dots, fu) \leq k G_r(u, fu, \dots, fu)$ が得られ、$k < 1/2$ の下では不可能である。
• 一意性は $G_r(u, v, \dots, v) \leq k^2 G_r(u, v, \dots, v)$ を示すことで証明され、$k^2 < 1$ であることから $u = v$ が導かれる。
• $f$ は固定点 $u$ において一般化 $r$-連続である。すなわち、$y_n \to u$ が $G_r$-収束である限り、$G_r(fy_n, u, \dots, u) \to 0$ となる。このことは $G_r(fy_n, u, \dots, u) \leq \frac{k}{1 - (r-1)k} G_r(y_n, u, \dots, u)$ のバインドにより証明される。
• 収縮条件により、反復列間の距離が幾何級数的に減少し、その減少率は $q = k/(1-k)$ で制御される。これにより、固定点への収束が保証される。