[論文レビュー] Generalized One-Particle Density Matrices and Quasifree States

Volker Bach, Breteaux, Sébastien+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、粒子数保存を仮定しないボソンおよびフェルミオン系に対して、一般化された1粒子および2粒子密度行列を導入し、2次までの代表可能性条件を確立する。半有界ハミルトニアンに対して、擬自由状態上のエネルギー汎関数の下界が、純粋な擬自由状態上のそれと一致することを証明し、一般化された1粒子密度行列が射影演算子となるのは、両粒子種において純粋な擬自由状態でのみであることを特定する。

ABSTRACT

In the spirit of the generalized one-particle density matrix for fermions, we introduce generalized one- and two-particle density matrices to state representability conditions up to second order for boson systems without assuming particle number-conservation. Furthermore, we show for both particle species that, for a semibounded Hamiltonian, the in?mum of the variation of the energy functional w.r.t quasifree states coincides with the one of a variation over pure quasifree states. Moreover, it is proven for fermions that only pure quasifree states have a generalized 1-pdm that is a projection, and a similar statement for bosons.

研究の動機と目的

• 粒子数保存を仮定しない系にまで一般化された1粒子密度行列の概念をボソンおよびフェルミオンの両者に拡張すること。
• 粒子数保存を仮定しない系における2粒子密度行列の代表可能性条件を導出し、ボソンおよびフェルミオンの両者に適用可能なものとする。
• 半有界ハミルトニアンに対して、すべての擬自由状態上のエネルギー最小化が、純粋な擬自由状態上のそれと一致することを証明すること。
• 一般化された1粒子密度行列が射影演算子となる条件を特定し、これが両粒子種において純粋な擬自由状態でのみ成立することを示すこと。
• 粒子数保存を仮定しない枠組みにおいて、ボゴリューボフ–ハートリー–フォック理論をボソンおよびフェルミオンの両者に統一的かつ一般化する。

提案手法

• 第二量子化を用いて、純粋状態や粒子数保存を仮定しない状態を含めたボソンおよびフェルミオンの一般化された1粒子密度行列（1-pdm）を導入する。
• 混合状態の相関と擬自由状態の構造を符号化するため、7×7のブロック行列形式で一般化された2粒子密度行列（2-pdm）を定義する。
• 一般化された1-pdmおよび2-pdmを用いてエネルギー汎関数を表現し、擬自由状態上での変分原理（レイリー–リッツの原理）を適用して最小化を行う。
• 擬自由状態の構造を活用して、一般化された2-pdmをγ、α、β、Δ、Bの成分に分解し、混合状態の表現を可能にする。
• ボゴリューボフ–ハートリー–フォックエネルギー汎関数を用い、半有界ハミルトニアン下で、すべての擬自由状態上の変分と純粋な擬自由状態上の変分が等価であることを証明する。
• 一般化された1-pdmが射影演算子となる条件を分析し、フェルミオンおよびボソンの両ケースで、これが純粋な擬自由状態でのみ成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子数保存を仮定しない系において、ボソンおよびフェルミオンの両者に一般化された1粒子および2粒子密度行列を定義できるか？
• RQ2 粒子数保存を仮定しない系における一般化された2粒子密度行列の代表可能性条件は何か？
• RQ3 半有界ハミルトニアンに対して、すべての擬自由状態上でのエネルギー汎関数の下界が、純粋な擬自由状態上でのそれと一致するか？
• RQ4 一般化された1粒子密度行列が射影演算子となる条件は何か？そしてこれは擬自由状態の純粋性とどのように関係するか？
• RQ5 ボゴリューボフ–ハートリー–フォックエネルギーを、一般の擬自由状態ではなく、純粋な擬自由状態上で等価に最小化できるか？

主な発見

• 一般化された2粒子密度行列は、粒子数保存を仮定しない擬自由状態の構造を完全に符号化する7×7ブロック行列として構築される。
• 半有界ハミルトニアンに対して、すべての擬自由状態上でのエネルギー汎関数の下界は、純粋な擬自由状態上でのそれと等しくなる。これは、エネルギー最小化に純粋状態が十分であることを示唆する。
• フェルミオンの場合、一般化された1粒子密度行列が射影演算子となるのは、純粋な擬自由状態でのみである。
• ボソンの場合にも同様の特徴づけが成り立つ：一般化された1-pdmが射影演算子であるのは、擬自由状態が純粋である場合に限る。
• 一般化された1-pdmおよび2-pdmを用いたエネルギー汎関数により、擬自由状態形式におけるフェルミオンおよびボソン系の統一的取り扱いが可能になる。
• 一般化された2-pdmの構造から、擬自由状態における全相関情報が7×7行列に符号化されていることが明らかになり、特定のブロックがγ、α、β、Δといった物理的観測量に対応することが分かっている。