[論文レビュー] Generalized Projection Operators in Banach Spaces: Properties and Applications

Ya. I. Alber|ArXiv.org|Nov 25, 1993

Optimization and Variational Analysis被引用数 74

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における射影作用素の一般化を導入し、ヒルバート空間における距離射影が持つ好ましい性質（非拡大性および強単調性）を継承する。これらの性質は一般にバナッハ空間では失われるが、本研究では、これらの一般化射影作用素を用いた反復的手法の収束定理を確立し、同値定理およびライプニッツ型不等式を用いて、変分不等式およびウィーナー・ホプフ方程式に対して強い収束を証明した。これにより、非ヒルバート空間設定でも安定な数値解法が可能となった。

ABSTRACT

This paper is an account (without proofs) of the results of our work "Metric and Generalized Projection Operators in Banach Spaces: Properties and Applications", funct-an/9311001. The Section 9 establishing a connection between variational inequalities and Wienner-Hopf equations in Banach spaces by means of metric and generalized projection operators, is added.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における距離射影が非拡大性および強単調性を失うという問題を解決すること。
• ヒルバート空間の射影が持つ主要な性質を保つバナッハ空間における一般化射影作用素 Π_Ω を定義すること。
• 一般化射影を含む作用素方程式と変分不等式との間の同値性を確立し、安定な反復的解法を可能とすること。
• バナッハ空間における変分不等式および作用素方程式を解くために、一般化射影に基づく反復プロセスの強い収束を証明すること。

提案手法

• リャプノフ汎関数 ϕ(t) を用いて、絶対的最良近似などの性質を保証する一般化射影作用素 Π_Ω: B → Ω ⊂ B を定義する。
• Π_Ω を関係式 Π_Ω = π_ΩJ を用いて定義する。ここで π_Ω は双対空間における射影、J は正規化双対写像である。
• 一般化射影を含む変分不等式とウィーナー・ホプフ方程式との間の同値性を確立し、収束しない距離射影に基づく反復を置き換える。
• 変分不等式を解くために、x_{n+1} = Π_ΩJ*(Jx_n - α_n(Ax_n - f)) という形の反復スキームの強い収束を証明する。
• 収束を保証するため、ϕ(||P_Ωx - ξ||) ≤ ϕ(||x - ξ||) - ϕ(||P_Ωx - x||) というライプニッツ型不等式を用いる。
• 凸性および滑らかさのモジュラスを用いて、バナッハ空間における距離射影の均一連続性に関する定量的推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間に、ヒルバート空間の距離射影が持つ収束性および安定性の性質を再現する一般化射影作用素を構築できるか？
• RQ2 バナッハ空間における変分不等式に対して、一般化射影に基づく反復手法の強い収束を保証する条件は何か？
• RQ3 バナッハ空間における変分不等式は、一般化射影を含む作用素方程式にどのように同値に再定式化できるか？
• RQ4 一様凸かつ一様滑らかなバナッハ空間における距離射影の均一連続性の挙動はいかなるものか？
• RQ5 バナッハ空間における距離射影の非拡大性の欠落は、新たな作用素フレームワークによって克服可能か？

主な発見

• 一般化射影作用素 Π_Ω は、距離射影が失敗する場合でさえ、バナッハ空間における変分不等式を解く反復プロセスの強い収束を保証する。
• 任意の ξ ∈ Ω に対して、ϕ(||Π_Ωx - ξ||) ≤ ϕ(||x - ξ||) - ϕ(||Π_Ωx - x||) が成り立ち、ϕ(t) = t^2 のとき、これは絶対的最良近似を意味する。
• 変分不等式とウィーナー・ホプフ方程式との間の新しい同値定理が確立され、収束する反復スキームの構築が可能となった。
• 反復プロセス x_{n+1} = Π_ΩJ*(Jx_n - α_n(Ax_n - f)) は、変分不等式の解に強く収束する。
• 凸性および滑らかさのモジュラスを用いて、距離射影の均一連続性に関する定量的推定値が得られ、g_B^{-1} および δ_B^{-1} を含む境界が導出された。
• 一般化射影作用素 Π_Ω は、ヒルバーツ空間の距離射影の自然な拡張であることが示され、計算の難易度も同等である。