[論文レビュー] Generalized quantum Zeno dynamics and ergodic means

Norbert Barankai, Zoltán Zimborás|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の収縮作用素と時刻依存プロパゲーターを含む積作用素列の一様収束を証明することにより、量子ゼノンダイナミクスを一般化する。極限的な時間発展演算子が時刻依存生成子のエルゴード平均に従うことが示され、非マーカフ的かつ時刻非一様な設定へと量子ゼノン効果を拡張する。一般化された断熱定理を用いた、活性的デコherence抑制への応用が提示される。

ABSTRACT

We prove the existence of uniform limits for certain sequences of products of contractions and elements of a family of uniformly continuous propagators acting on a Hilbert or a Banach space. From the point of view of Quantum Physics, the considered sequences can represent the evolution of a system whose dynamics, described by a continuous propagator, is disturbed by a sequence of generic quantum operations (e.g., projective measurements or unitary pulses). This includes and also generalizes the so-called quantum Zeno dynamics. The time-evolution obtained from the limits of the considered sequences are described by propagators generated by ergodic means. The notion of such ergodic means is generalized in this paper to also include propagators of time-dependent generators, and thus our results can be used to develop new forms of active decoherence suppression. In a similar way, we also consider the effective time-evolution obtained from adding to the possibly time-dependent generator of the original propagator a generator of a uniformly continuous contraction semi-group with asymptotically increasing weight in the sum. By proving a generalized adiabatic theorem, it is shown that also for this set-up the resulting time-evolution is governed by a suitable ergodic mean.

研究の動機と目的

• 標準的なマーカフ的・時刻一様な設定を超えて、時刻依存生成子および任意の量子操作を含む量子ゼノンダイナミクスの一般化を図ること。
• ヒルバート空間およびバナッハ空間上での収縮作用素と一様連続プロパゲーターを含む積作用素列の極限が一様に存在することを確立すること。
• 時刻依存作用素に対する一般化されたエルゴード平均を定義・分析し、非ユニタリおよび非定常な制御プロトコルへの量子ゼノンダイナミクスの拡張を実現すること。
• 時間依存生成子に加重収縮半群を漸近的に加重する形で摂動を加えた系に対して、一般化された断熱定理を構築すること。
• 繰り返しの量子操作を用いた量子情報処理における活性的デコherence抑制の数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$ C^0([t_1,t_2], \mathcal{B}(\mathcal{X})) $ 上に一般化されたエルゴード平均作用素 $ \mathfrak{P}_{\alpha,T} $ を定義し、時間依存生成子に対して繰り返し変換の重み付き平均を作用させる。
• 時間順序付き初期値問題に従う解 $ F $ を持つ時刻依存生成子 $ K(t) $ を含む形の積作用素列 $ C_n \cdot \prod_{l=0}^{n-1} T F(s_{n,l+1}, s_{n,l}) $ の一様極限を分析する。
• 収束は、系列 $ \alpha $ の分散および $ P_I K(t) P_I $ の近似可能性に関する条件のもとで証明され、極限は $ \mathfrak{P}_{\alpha,T_I}[P_I K P_I] $ が生成するプロパゲーター $ G(u,t_1) $ に従うことが保証される。
• 元の生成子に加重収縮半群を加えることで、一般化された断熱定理を確立し、有効な時間発展演算子が組み合わせ生成子のエルゴード平均に一様収束することを示す。
• 技術的道具として、プロパゲーターのピカード級数展開、$ \|K\|_{C^0} $ を用いたノルム推定、再帰的積分解法による作用素差の境界評価が用いられる。
• 作用素ノルムの安定性および収束速度に関する補題（例：補題 A.1 および A.2）が、特にコンパクト性および成長有界性の仮定の下で、極限過程における誤差項の制御に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻 $ n \to \infty $ のとき、$ \mathcal{B}(\mathcal{X}) $ 内で $ C_n \cdot \prod_{l=0}^{n-1} T F(s_{n,l+1}, s_{n,l}) $ の系列が一様収束する条件は何か？
• RQ2 量子ゼノンダイナミクスの文脈において、時刻依存生成子を含むエルゴード平均の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 時間依存生成子が、漸近的に加重が増加する一様連続収縮半群によって摂動された場合、有効な時間発展演算子はどのように定義されるか？
• RQ4 このような加重摂動に対して一般化された断熱定理を証明できるか？また、その極限的ダイナミクスは何か？
• RQ5 積作用素列の極限が、射影された生成子のエルゴード平均によって生成されるプロパゲーターに従うための条件は何か？

主な発見

• 系列 $ C_n \cdot \prod_{l=0}^{n-1} T F(s_{n,l+1}, s_{n,l}) $ の一様極限が存在し、$ G(u,t_1) $ が $ \partial_1 G(u,t_1) = \mathfrak{P}_{\alpha,T_I}[P_I K P_I](u) G(u,t_1) $ を満たし、$ G(t_1,t_1) = P_I $ を満たすプロパゲーターに従う。これは $ \alpha $ および $ P_I K P_I $ に関する適切な条件下で成立する。
• 収束速度が定量的に評価される：任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \gamma \geq \gamma_\varepsilon $ のとき、摂動された時間発展と理想化された時間発展の差はコンパクト集合上で $ \varepsilon $ 以下に抑えられる。
• 一般化された断熱定理により、生成子 $ K(t) $ に加重収縮半群（加重 $ \gamma \to \infty $）を摂動した場合、有効な時間発展演算子が一様に組み合わせ生成子のエルゴード平均に収束することが示される。
• 断熱設定における誤差境界（式 6.70）は $ \gamma $ に関して単調減少であり、$ \gamma \to \infty $ のとき 0 に収束するため、収束が保証される。
• 本結果により、非ユニタリ操作および時刻非一様ダイナミクスへの量子ゼノン効果の拡張が可能となり、活性的デコherence抑制のための新戦略が可能になる。
• 本フレームワークはヒルバート空間およびバナッハ空間の両方に適用可能であり、作用素ノルムにおける一様収束性により、摂動に対して堅牢であることが保証される。