[論文レビュー] Generalized raising and lowering operators for supersymmetric quantum mechanics

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意関数 h(x) を組み込むことで、超対称量子力学における昇降演算子を一般化し、古典的直交多項式の一般化されたロドリゲスの公式の導出を可能にする。この手法により、ヘルミート、ラゲルエル、ルジャンドル、チェビシェフ、ギーゲンバウアー多項式の標準的公式が特殊ケースとして回復され、任意関数を含む形に拡張され、新たな恒等式および一般化された微分作用素構造が得られる。

ABSTRACT

Supersymmetric quantum mechanics has many applications, and typically uses a raising and lowering operator formalism. For one dimensional problems, we show how such raising and lowering operators may be generalized to include an arbitrary function. As a result, the usual Rodrigues' formula of the theory of orthogonal polynomials may be recovered in special cases, and it may otherwise be generalized to incorporate an arbitrary function. We provide example generalized operators for several important classical orthogonal polynomials, including Chebyshev, Gegenbauer, and other polynomials. In particular, as concerns Legendre polynomials and associated Legendre functions, we supplement and generalize results of Bazeia and Das.

研究の動機と目的

• 任意関数 h(x) を自由パラメータとして導入することで、超対称量子力学における昇降演算子の標準的形式を拡張すること。
• h(x) をゼロまたは特定の値に設定した場合に、古典的直交多項式（例：ヘルミート、ラゲルエル、ルジャンドル）の既知のロドリゲスの公式が特殊ケースとして回復されることを示すこと。
• 任意の h(x) を許容することで、標準形式を超えたロドリゲス型公式を一般化し、新たな作用素構造と恒等式を生成すること。
• ルジャンドル、関連ルジャンドル、ギーゲンバウアー、チェビシェフ、ラゲルエル多項式を含む複数の直交多項式に適用可能な統一的枠組みを提供すること。
• バゼアとダスらの関連ルジャンドル関数に関する先行研究を補完・拡張し、完全な導出と新たな恒等式を提示すること。

提案手法

• 任意関数 h(x) を含む一般化された昇降演算子の形式 $ A = f_1(x) \frac{d}{dx} g_2(x) + h(x) $ を定式化する。
• 積分因子を用いて、h(x) と基本的な微分方程式構造に基づき、f_1(x) と g_2(x) の表現を導出する。
• 一般化された作用素形式をシュレーディンガー方程式および古典的直交多項式の微分方程式に適用する。
• h(x) = 0 の場合に標準的ロドリゲスの公式が回復され、非ゼロ h(x) の場合に一般化され、新たな作用素恒等式が得られる。
• 変数変換（例：x = r^2）を用いて、径方向問題（例：水素原子、調和振動子）を変換し、径座標における一般化された形を導出する。
• ルジャンドル、関連ルジャンドル、ギーゲンバウアー、チェビシェフ、ヘルミート、ラゲルエル多項式の複数の多項式族に対して手法を適用し、一貫性のある構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称量子力学における標準的昇降演算子は、任意関数 h(x) を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された作用素形式は、古典的直交多項式（例：ヘルミート、ラゲルエル、ルジャンドル）の既知のロドリゲスの公式を特殊ケースとして回復できるか？
• RQ3 h(x) が非ゼロの場合にどのような一般化されたロドリゲス型公式が得られ、それらは既知の恒等式とどのように関係するか？
• RQ4 この手法は、パrameter $ \lambda $ を持つ関連ルジャンドル関数およびギーゲンバウアー多項式にどのように拡張可能か？また、どのような新たな恒等式が得られるか？
• RQ5 一般化された形式は、クーロン力および調和振動子などの量子力学的径方向問題に適用可能か？新たな微分作用素構造を導出できるか？

主な発見

• ルジャンドル多項式に対して、一般化された昇作用素 $ A_+ = f_1 \frac{d}{dx} g_2 + h $ は、$ g_2(x) = (x^2 - 1)^{n/2} \exp\left[ -\int \frac{h(x)}{x^2 - 1} dx \right] $ および $ f_1(x) = (x^2 - 1)^{1 - n/2} \exp\left[ \int \frac{h(x)}{x^2 - 1} dx \right] $ を与える。
• h(x) = 0 の場合、一般化された作用素はルジャンドル多項式の標準的ロドリゲスの公式を回復し、任意の h(x) に対して一般化される。
• ラゲルエル多項式に対しては、一般化された作用素が $ g_2(x) = x^{\alpha + n} e^{-x} \exp\left[ -\int \frac{h(x)}{x} dx \right] $ を与え、h = 0 のときに標準的ロドリゲスの公式が回復される。
• チェビシェフ多項式 $ T_n(x) $ に対し、この手法によりロドリゲスの公式が一般化され、h = 0 の場合に $ T_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} (1 - x^2)^{(3-n)/2} \frac{d}{dx} \left[ (1 - x^2)^{3/2} \frac{d}{dx} \right]^{n-2} x (1 - x^2)^{1/2} $ が得られる。
• ギーゲンバウアー多項式に対しては、一般化された形式が、特に $ \lambda \neq 1/2 $ の場合に先行研究を拡張する新しい作用素構造を提供し、一般化された恒等式の導出を可能にする。
• この手法により、直交多項式に対する一般化されたシュレーディンガー型の閉路積分が導出可能であり、特殊関数論および量子力学への広範な応用可能性を示唆する。