[論文レビュー] Generalized sampling: stable reconstructions, inverse problems and compressed sensing over the continuum

Ben Adcock, Anders C. Hansen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 65被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、無限次元ヒルベルト空間におけるサンプリング測定値から信号および画像を安定的かつ準最適に再構成するための一般化されたサンプリング（GS）を導入し、連続体上の逆問題および圧縮センシングへと拡張する。波形に基づく再構成が、リストリクテッド等長性性質（RIP）に依存せずに、医療画像診断などの実用的応用においても安定的かつ高精度であることが示されている。RIPは、実際の回復性能を説明するのに不十分であることが判明している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to report on recent approaches to reconstruction problems based on analog, or in other words, infinite-dimensional, image and signal models. We describe three main contributions to this problem. First, linear reconstructions from sampled measurements via so-called generalized sampling (GS). Second, the extension of generalized sampling to inverse and ill-posed problems. And third, the combination of generalized sampling with sparse recovery techniques. This final contribution leads to a theory and set of methods for infinite-dimensional compressed sensing, or as we shall also refer to it, compressed sensing over the continuum.

研究の動機と目的

• 標準の再構成アルゴリズムで用いられる有限次元離散モデルと連続的逆問題（例：MRI、CT）との根本的な不一致を解消すること。
• 無限次元関数空間で直接作用する安定的かつ線形な再構成フレームワーク、すなわち一般化されたサンプリング（GS）を構築すること。
• 前方作用素の特異値分解（SVD）を用いた正則化により、GSを不適切な逆問題に拡張すること。
• 無限次元圧縮センシングにおいて、GSをスパース回復技術と統合し、サブ・ナイキストサンプリングからの安定的再構成を可能にすること。
• RIPの実用的圧縮センシングにおける有用性に疑問を呈し、実世界の再構成品質を予測できないことを実証すること。

提案手法

• 関数 $ f \in \mathrm{H} $ を、サンプリングフレーム $ \{\psi_j\} $ を用いた測定値 $ \hat{f}_j = \langle f, \psi_j \rangle $ から、別のフレーム $ \{\varphi_j\} $ で再構成することにより、再構成問題を定式化する。
• 測定値をサンプリングフレームから再構成フレームの係数へマッピングする線形かつ数値的に安定な手法として、一般化されたサンプリング（GS）を提案する。
• 前方作用素 $ \mathcal{A} $ が連続線形作用素である形の逆問題 $ \mathcal{A}f = g $ に対して、$ \mathcal{A} $ のSVDを用いた正則化を組み合わせることで、GSを適用する。
• $ \ell^1 $-最小化とGSを統合し、スパース化フレーム（例：ウェーブレット）で信号を表現し、フーリエ係数からの係数を求める。
• 多段階サンプリング方式を採用し、フーリエ係数を部分的にサンプリングしながらも再構成精度を維持する。
• 数値実験（具体的にはウェーブレット係数の順序を逆転させる）を用いて、回復の耐障害性をテストし、RIPが実際の性能を説明できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題の離散化を伴わずに、無限次元関数空間で安定的かつ高精度な再構成が達成可能か？
• RQ2 トモグラフィーやMRIで生じる不適切な逆問題に、一般化されたサンプリングをどのように拡張できるか？
• RQ3 連続体上の圧縮センシングにおいて、リストリクテッド等長性性質（RIP）が回復性能をどれほど正確に予測できるか？
• RQ4 RIPに基づく標準的な圧縮センシングの保証が、実際の画像応用におけるアルゴリズムの成功を説明できないのはなぜか？
• RQ5 無限次元圧縮センシングの分析において、RIPよりも非漸近的コherーインスおよびスパarsityがより正確な理論的枠組みを提供できるか？

主な発見

• 一般化されたサンプリングは、サンプリング系の条件数に依存しない誤差バインディングを備え、無限次元ヒルベルト空間における測定値からの安定的かつ準最適な信号再構成を可能にする。
• GSを用いることで、$ n $ 個のフーリエ測定値から $ \mathcal{O}(n) $ 個のウェーブレット係数を正確に回復でき、離散化誤差なしに高精度な再構成が達成される。
• 前方作用素 $ \mathcal{A} $ のSVDを用いたTikhonov型正則化により、GSは不適切な逆問題へも成功裏に拡張され、安定性と収束性が保証される。
• 数値実験により、ウェーブレット係数の順序を逆転させると、同じサンプリングパターンとスパarsityレベルでも著しく異なる再構成が得られることを示し、再構成品質がスパarsityだけでなく係数の構造に依存することを明らかにした。
• リストリクテッド等長性性質（RIP）は実用的回復性能を予測できない：係数の順序が変わると、同一のサンプリングパターンとスパarsityレベルでも、結果が著しく異なるが、これはRIPの順序不変性仮定に反する。
• 結果から、RIPは必要な測定数の見積もりをあまりに楽観的すぎるものとして導き、無限次元圧縮センシングの回復理解にはコヒーレンスに基づく理論がより適切である可能性が示唆される。