[論文レビュー] Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions

A. W. McDavid, C. D. McMullen|ArXiv.org|Sep 26, 2006

Particle Accelerators and Free-Electron Lasers参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、普遍的 extra 次元を有する高次元時空へ、特に外積と回転（curl）を一般化する。角運動量、磁場、および関連量を擬スカラー量ではなく、反対称第二階テンソルとして取り扱うことで、高次元における一貫性を確保する。物理的直感を保ちつつ、高次元でも一貫した応用が可能なテンソルに基づくベクトル微積分形式にマクスウェル方程式を再定式化し、extra 次元場理論における概念的問題を解消するとともに、電磁場の実用的な積分形を提供する。

ABSTRACT

In the past five years, there has been considerable research on the collider phenomenology of TeV-scale extra compact dimensions which are universal - i.e. accessible to all the Standard Model fields. We consider in detail a fundamental conceptual issue in the higher-dimensional theory: Since the cross product is only physically meaningful in three spatial dimensions, how do traditional vector formulas involving the cross product or curl operation generalize in the case of universal extra dimensions? For example, is angular momentum physically meaningful, and, if so, how is it related to the position and momentum vectors? We find that if angular velocity, torque, angular momentum, and magnetic field, for example, are regarded as anti-symmetric second-rank tensors instead of pseudovectors, we can construct tensor forms of the standard cross product and curl equations that do generalize to higher dimensions. Although Maxwell's equations have been generalized to extra dimensions in terms of differential forms, we show that our simple technique casts the generalized Maxwell's equations in a form very similar to the standard vector calculus. We also provide direct integrals for the fields in a practical tensor calculus form. We explore the electric and magnetic fields in detail to show that there are no fundamental conceptual problems hidden in the theory - e.g. how the Lorentz force can be meaningfully expressed in terms of the velocity and magnetic field when the traditional cross product and right-hand rule do not apply. Finally, we explore the effects that compactification has on the effective form of Maxwell's equations, which could be useful for direct tests of Coulomb's law.

研究の動機と目的

• 3次元ベクトル微積分演算（特に外積と回転）を、普遍的 extra 次元を有する高次元理論に適用する際の概念的不整合を解消すること。
• 従来の擬スカラー量形式が崩壊する高次元において、角運動量、力のモーメント、磁場の物理的に意味のある定式化を確立すること。
• 標準的ベクトル微積分の構造を保ちつつ、テンソル微積分を用いてマクスウェル方程式を高次元に一般化すること。
• 電磁場の直接的な積分表現を提供し、物性的・実験的解析を容易にすること。
• extra 次元のコンパクト化が、特にクーロンの法則の検証に向けた有効なマクスウェル方程式の形に与える影響を調査すること。

提案手法

• 角運動量、磁場、力のモーメントの伝統的な擬スカラー量表現を、高次元での一貫性を保証する反対称第二階テンソルに置き換える。
• 次元拡張された回転に対して不変である一般化されたテンソル形式の外積および回転演算を導出する。
• テンソル微積分を用いて高次元におけるマクスウェル方程式を再定式化し、標準的ベクトル微積分の構造を保ちつつ、任意次元で数学的に正当な形をとるようにする。
• 電場および磁場の高次元時空における明示的な積分解を構築し、直接的な物理的計算を可能にする。
• 特にクーロンの法則への修正に注目して、extra 次元のコンパクト化が有効4次元マクスウェル方程式に与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外積および回転演算を、3次元空間を超えて物理的に一貫した方法で高次元に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 普遍的 extra 次元を有する高次元時空において、角運動量および磁場の正しいテンソル表現は何か？
• RQ3 標準的ベクトル微積分に類似した形でマクスウェル方程式を高次元に再定式化できるか？物理的直感を保ったまま。
• RQ4 右ねじの法則および外積が定義されない高次元において、ローレンツ力および場の相互作用はどのように変化するか？
• RQ5 コンパクト化された extra 次元が、クーロンの法則のような有効な電磁法則に与える観測可能な影響は何か？

主な発見

• 本稿は、回転および電磁的量を反対称第二階テンソルとして表現することで、擬スカラー量の概念的落とし穴を避けることにより、外積および回転を高次元に成功裏に一般化した。
• マクスウェル方程式はテンソル微積分を用いて高次元に再定式化され、標準的3次元ベクトル微積分に類似した形を保ちつつ、数学的に厳密な形となった。
• 一般化されたローレンツ力の法則は、速度および磁場テンソルの観点から一貫して表現され、高次元における外積が定義されない問題を解消した。
• テンソル形式に基づく電磁場の明示的な積分形が導出され、実用的な計算および物性的解析を可能にした。
• extra 次元のコンパクト化は、修正された有効4次元マクスウェル方程式をもたらし、実験的に検証可能なクーロンの法則からのずれが生じる。