[論文レビュー] Generating certified properties for numerical expressions and their evaluations

Marc Daumas, Guillaume Melquiond|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2007

Numerical Methods and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

Gappa は、正確な演算および丸められた演算を含む数値式の正式に認証された境界を自動的に生成するツールです。複数精度の dyadic 分数を用いた区間演算と前方誤差解析を用い、Coq や HOL Light で検証可能な証明を生成することで、高信頼性な数値ソフトウェアの検証を可能にします。

ABSTRACT

Gappa uses interval arithmetic to certify bounds on mathematical expressions that involve rounded as well as exact operators. Gappa generates a theorem with its proof for each bound treated. The proof can be checked with a higher order logic automatic proof checker, either Coq or HOL Light, and we have developed a large companion library of verified facts for Coq dealing with the addition, multiplication, division, and square root, in fixed- and floating-point arithmetics. Gappa uses multiple-precision dyadic fractions for the endpoints of intervals and performs forward error analysis on rounded operators when necessary. When asked, Gappa reports the best bounds it is able to reach for a given expression in a given context. This feature is used to quickly obtain coarse bounds. It can also be used to identify where the set of facts and automatic techniques implemented in Gappa becomes insufficient. Gappa handles seamlessly additional properties expressed as interval properties or rewriting rules in order to establish more intricate bounds. Recent work showed that Gappa is perfectly suited to the proof of correctness of small pieces of software. Proof obligations can be written by designers, produced by third-party tools or obtained by overloading arithmetic operators.

研究の動機と目的

• 正確な演算および丸められた演算を含む数学的式の正式に認証された境界を提供すること。
• 高階論理証明検証ツールと互換性を持つ形式的証明の自動生成を、数値的性質の検証に活用すること。
• 認証済み誤差境界と形式的定理生成を通じて、数値ソフトウェアコンponentsの検証を支援すること。
• 区間制約と書き換え規則を用いて、複雑な数値的性質への対応を拡張すること。
• 現在の技術と事実が不足している箇所を特定することで、既存の形式的ライブラリの限界を明らかにすること。

提案手法

• Gappa は、区間端点の正確な表現のため、複数精度の dyadic 分数を用いた区間演算を採用している。
• 丸められた演算子に対して前方誤差解析を実行し、浮動小数点計算における数値誤差を制限する。
• 各認証済み境界に対して、形式的証明付きの定理を生成し、Coq や HOL Light で検証可能である。
• 固定小数点および浮動小数点形式の基本的算術演算に関する、Coq における検証済み事実の包括的な補足ライブラリを統合している。
• 区間制約と書き換え規則を用いて、より複雑な境界を導出するための追加的性質をサポートしている。
• 与えられた式に対して到達可能な最もきつい境界を報告できるため、知識ベースのギャップを特定するのに役立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な演算および丸められた演算を含む数値式を、検証可能な形式的証明で正式に境界付けるにはどうすればよいか？
• RQ2 区間演算を用いて浮動小数点計算における信頼性の高い誤差解析を実現するにはどのような技術が必要か？
• RQ3 高階論理証明検証ツールと互換性を保ちつつ、形式的証明生成を自動化するにはどうすればよいか？
• RQ4 Gappa の形式的検証機能を、複雑な数値的性質のサポートにどのように拡張できるか？
• RQ5 ツールが内部的な事実や技術が与えられた境界に対して不十分であると判断する方法は何か？

主な発見

• Gappa は、区間演算と複数精度の dyadic 分数を用いて、数値式の正式に認証された境界を効果的に生成した。
• Coq や HOL Light で検証可能な証明を生成することで、数値ソフトウェアの高信頼性な検証が可能になった。
• 固定小数点および浮動小数点演算のための、検証済み算術的事実の包括的な Coq ライブラリが開発され、統合された。
• 前方誤差解析が丸められた演算子に効果的に適用され、計算における数値誤差の制限が達成された。
• Gappa は、自身の推論の限界を、到達可能な最もきつい境界を報告することで特定でき、知識ベースのギャップを浮き彫りにした。
• 区間制約と書き換え規則を用いた境界のスムーズな拡張が、複雑な性質のサポートに可能となった。