[论文解读] Generating families and constructible sheaves

Vivek Shende|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 4

一句话总结

本论文在 jet 空间中的 Legendrian 的生成族表示与 $X \times \mathbb{R}$ 上的可构造层之间建立了典范对应关系，表明生成族同调同关联层的自同态代数同构。对于 $\mathbb{R}^3$ 中的 Legendrian 线，此对应关系为等价关系，通过层论方法将生成族同调与线性化 Legendrian 接触同调联系起来。

ABSTRACT

Let $Λ$ be a Legendrian in the jet space of some manifold $X$. To a generating family presentation of $Λ$, we associate a constructible sheaf on $X imes \mathbb{R}$ whose singular support at infinity is $Λ$, and such that the generating family homology is canonically isomorphic to the endomorphism algebra of this sheaf. That is, the theory of generating family homology embeds in sheaf theory, and more specifically in the category studied in [STZ]. When $X = \mathbb{R}$, i.e., for the theory of Legendrian knots and links in the standard contact $\mathbb{R}^3$, we use ideas from the proof of the h-cobordism theorem to show this embedding is an equivalence. Combined with the results of [NRSSZ], this implies in particular that the generating family homologies of a knot are the same as its linearized Legendrian contact homologies.

研究动机与目标

• 将生成族同调理论嵌入可构造层理论的框架中。
• 为 $X$ 的 jet 空间中 Legendrian $\Lambda$ 的每个生成族表示关联一个 $X \times \mathbb{R}$ 上的可构造层。
• 证明关联层的自同态代数与 $\Lambda$ 的生成族同调之间存在典范同构。
• 证明当 $X = \mathbb{R}$ 时，此嵌入成为等价关系，即在 $\mathbb{R}^3$ 中的 Legendrian 线情况下成立。
• 建立生成族同调与线性化 Legendrian 接触同调的一致性，通过此层论等价关系。

提出的方法

• 从 $X$ 的 jet 空间中 Legendrian $\Lambda$ 的生成族表示构造一个 $X \times \mathbb{R}$ 上的层。
• 利用该层在无穷远处的奇异性支撑恢复原始 Legendrian $\Lambda$。
• 应用 [STZ] 中关于可构造层范畴的结果，分析该层的自同态代数。
• 借鉴 h- cobordism 定理的思想，证明当 $X = \mathbb{R}$ 时，该层论构造是完全忠实且本质满射的。
• 利用该等价关系，通过 [NRSSZ] 将该层的自同态代数与线性化 Legendrian 接触同调联系起来。
• 建立生成族同调与关联层自同态代数之间的典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $X \times \mathbb{R}$ 上的可构造层范畴中实现生成族同调？
• RQ2 可构造层在无穷远处的奇异支撑与其所表示的 Legendrian 子流形之间的确切关系是什么？
• RQ3 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 Legendrian 线情况下，生成族同调的层论实现是否为完全忠实且本质满射？
• RQ4 能否将关联层的自同态代数典范地识别为生成族同调？
• RQ5 此层论构造是否能恢复 Legendrian 线的线性化 Legendrian 接触同调？

主要发现

• $X$ 的 jet 空间中 Legendrian $\Lambda$ 的生成族表示可导出一个 $X \times \mathbb{R}$ 上的可构造层，其在无穷远处的奇异支撑为 $\Lambda$。
• 该层的自同态代数与 $\Lambda$ 的生成族同调之间存在典范同构。
• 当 $X = \mathbb{R}$ 时，生成族同调嵌入层理论成为范畴等价。
• 此等价关系意味着 $\mathbb{R}^3$ 中 Legendrian 线的生成族同调与线性化 Legendrian 接触同调一致。
• 该构造为生成族同调提供了层论解释，将其与接触同调不变量统一起来。
• 证明依赖于受 h-cobordism 定理启发的技术，以建立在结情形下该嵌入的完全忠实性与本质满射性。