[論文レビュー] Generators and relations for the group $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2},i])$

Seth Eveson Murray Greylyn|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子計算における正確な合成を動機として、$U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ の完全な生成子と関係式のセットを提示する。環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ 上での修正版 Giles-Selinger アルゴリズムを用いて、群の有限提示を確立し、クリフォード+T ゲートへのユニタリ行列の正確な分解を可能にする。故障耐性のある量子回路合成への応用を含む。

ABSTRACT

We give a presentation by generators and relations of the group $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2},i])$ of unitary $4 imes 4$ matrices with entries in the ring $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2},i]$. This is motivated by the problem of exact synthesis for the Clifford+T gate set in quantum computation.

研究の動機と目的

• 群 $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ の有限提示（生成子と関係式）を提供すること。
• クリフォード+T ゲートセットを用いた量子回路の正確な合成を支援すること。
• Giles-Selinger の正確な合成アルゴリズムを、$\sqrt{2}$ と $i$ を含む環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ に拡張すること。
• 集合 $\{X_{[\alpha,\beta]}, H_{[\alpha,\beta]}, \omega_{[\alpha]} \mid 1 \leq \alpha < \beta \leq 4\}$ が $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ を生成することを確立すること。
• 任意の行列が $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ 内に、指定されたタイプの1量子および2量子レベル行列の積として分解可能であることを証明すること。

提案手法

• 環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ に適応された Giles-Selinger の正確な合成アルゴリズムを、$\mathbb{Z}[\omega]$ に $\sqrt{2}$ を逆元として拡張することにより、修正する。
• 量子ビットペアおよび単一量子ビットに対して、それぞれ $X_{[\alpha,\beta]}$、$H_{[\alpha,\beta]}$、$\omega_{[\alpha]}$ の生成子を用いる。
• $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ がユークリッド整域であるという事実を活用し、ユニタリ行列のアルゴリズム的分解を可能にする。
• 基本的なユニタリ操作を用いて、行列を単位行列にまで還元する修正版 Giles-Selinger アルゴリズムを適用する。
• $\sqrt{2} = \omega - \omega^3$、$i = \omega^2$、$2 = \delta^4 \cdot \omega^{-2} \cdot \lambda^{-2}$ といった代数的恒等式を $\mathbb{Z}[\omega]$ 内で用いる。
• 修正版アルゴリズムを構成的証明として用い、群 $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ が指定された集合によって生成されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ の有限提示（生成子と関係式）は何か？
• RQ2 Giles-Selinger の正確な合成アルゴリズムを環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ に適応できるか？
• RQ3 $X_{[\alpha,\beta]}$、$H_{[\alpha,\beta]}$、$\omega_{[\alpha]}$ の演算子は $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ を生成するか？
• RQ4 環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ 上のユニタリ行列は、どのように1量子および2量子レベル行列の積に分解できるか？
• RQ5 この文脈におけるクリフォード+T 回路の正確な合成の背後にある代数的構造は何か？

主な発見

• 群 $U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ は、集合 $\{X_{[\alpha,\beta]}, H_{[\alpha,\beta]}, \omega_{[\alpha]} \mid 1 \leq \alpha < \beta \leq 4\}$ によって有限提示可能である。
• 修正版 Giles-Selinger アルゴリズムは、$U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ 内の任意の行列を、指定された生成子の積に正確に分解できる。
• 環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ はユークリッド整域であるため、ユニタリ行列の効果的なアルゴリズム的還元が可能である。
• 恒等式 $2 = \delta^4 \cdot \omega^{-2} \cdot \lambda^{-2}$ は $\mathbb{Z}[\omega]$ 内で成り立ち、ここで $\delta = 1 + \omega$、$\lambda = 1 + \sqrt{2}$、$\omega = e^{i\pi/4}$ である。
• 生成子 $X$、$H$、$\omega$ はそれぞれパウリ-X ゲート、アダマール ゲート、位相ゲートに対応し、環 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i]$ に拡張されている。
• 証明により、$U_4(\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}, i])$ 内のすべての行列が、生成集合に含まれるタイプの1量子および2量子レベル行列の積として表現可能であることが確認され、群構造が裏付けられた。