[論文レビュー] Generic mean curvature flow I; generic singularities

Tobias Colding, William P. Minicozzi|ArXiv.org|Aug 26, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、ℝ³における閉じた埋め込みされた曲面の一般的な平均曲率フローにおいて、唯一の可能な特異点は球面と円筒—摂動によって消去できない安定な自己収縮解—であることを確立する。著者らはすべての次元で、球面と円筒が唯一の安定な自己収縮解であることを証明し、それにより他の可能性のある特異点は不安定であり、一般初期条件のもとでは除外されることを示す。

ABSTRACT

It has long been conjectured that starting at a generic smooth closed embedded surface in R^3, the mean curvature flow remains smooth until it arrives at a singularity in a neighborhood of which the flow looks like concentric spheres or cylinders. That is, the only singularities of a generic flow are spherical or cylindrical. We will address this conjecture here and in a sequel. The higher dimensional case will be addressed elsewhere. The key in showing this conjecture is to show that shrinking spheres, cylinders and planes are the only stable self-shrinkers under the mean curvature flow. We prove this here in all dimensions. An easy consequence of this is that every other singularity than spheres and cylinders can be perturbed away.

研究の動機と目的

• ℝ³における一般的な平均曲率フローが球面的または円筒的特異点しか発生しないというHuiskenの予想を解決すること。
• すべての次元における平均曲率フロー下でのすべての安定な自己収縮解を分類し、特異点解析の基盤を築くこと。
• 球面や円筒以外の特異点は、すべて摂動によって消去可能であることを示し、それらが一般的でないことを示すこと。
• スペクトル解析と安定性基準を用いて、唯一の安定な自己収縮解が球面と円筒であることを確立すること。
• 一般状況における平均曲率フローの特異点近傍での漸近的挙動を理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 重み付き面積関数の第二変分を解析することで、ℝⁿ⁺¹における球面と円筒が唯一の安定な自己収縮解であることを証明する。
• Huiskenのモニタリティ公式を用いて、特異点の拡大が自己収縮解によってモデル化されることを示す。
• 自己収縮解のジャコビ作用素に対するスペクトル理論を適用し、安定性を決定する。特に、最初の非ゼロ固有値に注目する。
• 球面と円筒の安定性作用素の最初の固有値を特徴づけ、それが厳密に正（安定）であることを示す。一方、他の解は不安定である。
• 不安定な自己収縮解は摂動によって除外可能であるという事実を用いて、一般的フロー行動からそれらを除外する。
• 自己収縮解とコンフォート的に変換された計量における最小曲面の等価性を活用し、問題の幾何を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝⁿ⁺¹における平均曲率フロー下で唯一の安定な自己収縮解は何か？
• RQ2 球面的でも円筒的でもないすべての自己収縮解は、一般的な平均曲率フローで摂動によって消去可能か？
• RQ3 なぜ一般的な平均曲率フローにおいてℝ³では球面的または円筒的特異点しか現れないのか？
• RQ4 自己収縮解の安定性は、平均曲率フローにおける特異点の一般性とどのように関係するか？
• RQ5 安定性作用素の最初の固有値は、可能な特異点の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• すべての次元において、球面と円筒が平均曲率フロー下で唯一の安定な自己収縮解である。
• 他のすべての自己収縮解は不安定であり、したがって一般的な平均曲率フローでは現れない。
• 球面と円筒の安定性作用素の最初の固有値は厳密に正であり、安定性が確認される。
• 他の安定な自己収縮解が存在しないことから、ℝ³における一般的平均曲率フローは丸い点で消滅することが示される。
• この結果は、Huiskenの予想、すなわち一般的特異点が球面的または円筒的であることに完全に一致する。
• 安定な自己収縮解の分類は、高次元における平均曲率フローの一般的挙動を理解する基盤を提供する。