[論文レビュー] Genus, Treewidth, and Local Crossing Number

Vida Dujmović, David Eppstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、各辺に高々 $k$ 個の交差を許す genus $g$ の曲面に埋め込まれたグラフの木幅および階層的木幅について、タイトな上限を確立している。木幅は $O(\sqrt{gkn})$、階層的木幅は $O(gk)$ であり、定数因子を除いて最適である。特に $k$-平면グラフ（$n$ 頂点）では、木幅が $O(\sqrt{kn})$ となることが示され、従来の結果を改善する。

ABSTRACT

We consider relations between the size, treewidth, and local crossing number (maximum crossings per edge) of graphs embedded on topological surfaces. We show that an $n$-vertex graph embedded on a surface of genus $g$ with at most $k$ crossings per edge has treewidth $O(\sqrt{gkn})$ and layered treewidth $O(gk)$, and that these bounds are tight up to a constant factor. As a special case, the $k$-planar graphs with $n$ vertices have treewidth $O(\sqrt{kn})$ and layered treewidth $O(k)$, which are tight bounds that improve a previously known $O(k^{3/4}n^{1/2})$ treewidth bound. Additionally, we show that for $g<m$, every $m$-edge graph can be embedded on a surface of genus $g$ with $O((m/g)\log^2 g)$ crossings per edge, which is tight to within a polylogarithmic factor.

研究の動機と目的

• トポロジカルグラフ埋め込みにおけるグラフサイズ、曲面の genus、局所的交差数の間の構造的トレードオフを理解すること。
• 各辺に有界な交差数を許す曲面上に埋め込まれたグラフの木幅および階層的木幅に対するタイトな上界を導出すること。
• $k$-平面グラフ（局所的交差数が有界な埋め込みの特別な場合）に対する既存の木幅境界を改善すること。
• 定数因子を除いて最適であることを確認するため、境界のタイトさ（漸近的最適性）を確立すること。

提案手法

• トポロジカルおよび組合せ的技法を用いて、各辺に高々 $k$ 個の交差を許す genus $g$ の曲面上のグラフ埋め込みを分析する。
• 既知のグラフ最小小集合および木幅に関する結果を応用し、$g$、$k$、$n$ の関数として漸近的上界を導出する。
• 構成的埋め込みの議論を用いて、任意の $m$ 辺グラフが genus-$g$ の曲面上に $O((m/g)\log^2 g)$ 個の交差を有するように埋め込めることを示す。
• 一致する下界を用いた証明により、境界のタイトさを示し、定数因子を除いて最適性を確立する。
• 階層的木幅の概念を活用して、スパarsなグラフ族に対する構造的洞察を強化する。
• 既知の極値グラフ理論および平面グラフの分解技術に還元することで、高 genus の曲面へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各辺に高々 $k$ 個の交差を許す genus-$g$ の曲面上に埋め込まれた $n$ 頂点グラフの最大木幅は何か？
• RQ2 このようなグラフの階層的木幅は $g$、$k$、$n$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 $k$-平面グラフの木幅境界は、従来の $O(k^{3/4}n^{1/2})$ よりも改善可能か？
• RQ4 任意の $m$ 辺グラフを genus-$g$ の曲面上に埋め込む場合、$O((m/g)\log^2 g)$ 個の交差/辺という境界はタイトか？
• RQ5 導出された木幅および階層的木幅の境界は、定数因子を除いて漸近的に最適か？

主な発見

• 各辺に高々 $k$ 個の交差を許す genus-$g$ の曲面上に埋め込まれた $n$ 頂点グラフの木幅は $O(\sqrt{gkn})$ であり、これは定数因子を除いてタイトである。
• このようなグラフの階層的木幅は $O(gk)$ であり、これも定数因子を除いてタイトである。
• $n$ 頂点の $k$-平面グラフでは、木幅が $O(\sqrt{kn})$ であることが示され、従来の $O(k^{3/4}n^{1/2})$ よりも改善される。
• $k$-平面グラフの階層的木幅は $O(k)$ であり、これはタイトである。
• 任意の $m$ 辺グラフは、$g < m$ の場合、genus $g$ の曲面上に $O((m/g)\log^2 g)$ 個の交差/辺を有するように埋め込むことができる。この境界は多対数的要因を除いてタイトである。
• 導出された木幅および階層的木幅の境界は、与えられたパラメータに対して、漸近的により良い境界が得られないという意味で最適である。