[論文レビュー] Geodesics in stationary spacetimes. Application to Kerr spacetime

José Luis Flores, Miguel Sánchez|ArXiv.org|Jun 20, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ステーショナリースペーシタイムにおけるリーマン接続および測地線方程式の一般式を導出し、ワーペッド積構造の拡張を行う。これらの式をカー・スペーシタイムに適用し、$a \neq 0$ の場合、およびその正則化領域 $M^a_\epsilon$ において、測地線的連結性が成立しないことを証明する。唯一、$a = 0$ のシュバルツシルト極限においてのみ、変分法とは異なる位相的議論に基づいて測地線的連結性が成立する。

ABSTRACT

The Levi-Civita connection and geodesic equations for a stationary spacetime are studied in depth. General formulae which generalize those for warped products are obtained. These results are applicated to some regions of Kerr spacetime previously studied by using variational methods. We show that they are neither space-convex nor geodesically connected. Moreover, the whole stationary part of Kerr spacetime is not geodesically connected, except when the angular momentum is equal to zero (Schwarzschild spacetime).

研究の動機と目的

• ワーペッド積構造を超えたステーショナリースペーシタイムにおけるリーマン接続および測地線方程式の一般化。
• 特に $a \neq 0$ の場合におけるカー・スペーシタイムの静的領域における測地線的連結性の分析。
• 変分法とは異なる非変分的、位相的証明を用いてシュバルツシルト・スペーシタイム（$a = 0$）における測地線的連結性を確立すること。
• $M^a_\epsilon$ 領域が空間凸でないことを示し、凸性に基づく測地線的連結性の失敗を示すこと。
• 境界に特異性があるため、標準的な変分法がカー・スペーシタイムに適用できないことの特定と、代替的手法の必要性の提示。

提案手法

• 時刻 $t$ に依存しないメトリック $g = -\beta dt^2 + g_R + 2\langle \delta, \cdot \rangle_R dt$ を持つステーショナリースペーシタイム $M = \mathbb{R} \times M_0$ におけるリーマン接続の一般式を導出。
• 時間 $t$ に依存しない関数のヘッセ行列の一般式を導出し、測地線的連結性における凸性の分析に不可欠な役割を果たす。
• これらの式を、$a^2 \leq m^2$ を満たすカー・スペーシタイムの静的領域に適用し、$a=0$（シュバルツシルト）極限を含む。
• ボロウアー位相次数理論（Brouwer degree）を用いて、シュバルツシルト・スペーシタイムにおける点の間の測地線の存在を証明し、変分法を避ける。
• 測地線に沿った時間差 $\Delta t$ および方位角の変化 $\Delta \varphi$ の振る舞いを分析し、特定の条件下で $\Delta \varphi$ が発散することを示す。
• $\{r^*_n\} \to 2m$ となる列を構成し、積分の漸近的解析を用いて $\Delta \varphi \to \infty$ を示し、$\Delta \varphi = 2\pi k$ を満たす解の存在を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カー・スペーシタイムの静的領域は、$a \neq 0$ の場合に測地線的連結であるか？
• RQ2 カー・スペーシタイムにおける測地線的連結性は、変分法ではなく位相的手法によって確立可能か？
• RQ3 正則化領域 $M^a_\epsilon$ は測地線的連結であるか？ また、その境界は空間凸でないか？
• RQ4 境界の特異性のため、標準的な変分法はカー・スペーシタイムに失敗するか？
• RQ5 シュバルツシルト・スペーシタイムは測地線的連結であるか？ そして、変分法を用いずに証明可能か？

主な発見

• 直接的な測地線方程式の分析と $\Delta \varphi$ の発散を示すことにより、$a \neq 0$ の場合のカー・スペーシタイムの静的領域は測地線的連結でないことが判明。
• ヘッセ行列の分析により、$\epsilon > 0$ の場合の正則化領域 $M^a_\epsilon$ が空間凸でないことが示され、凸性に基づく測地線的連結性の証明が不可能であることが判明。
• $a \neq 0$ の場合、$M^a$ も $M^a_\epsilon$ も測地線的連結でない。 ただし、$a, \epsilon$ が十分に小さい場合、$M^a_\epsilon$ の境界は時間的・光的凸性を有する。
• シュバルツシルトの場合（$a = 0$）には測地線的連結性が成立し、変分法とは異なる独自の位相的証明法（ボロウアー位相次数理論に基づく）により証明された。
• シュバルツシルト・ブラックホールに対しても、$r'$ が内部点 $r^* \in (r_1, 2m)$ で消失すること 允許することで、変分法が失敗する状況においても証明が拡張可能である。
• $r^*_n \to 2m$ となる列における $\Delta \varphi$ の発散は、$\Delta \varphi = 2\pi k$ を満たす解が存在することを示唆し、$a=0$ の場合の測地線的連結性が確認される。