[論文レビュー] Geometric construction of the r-map: from affine special real to special Kähler manifolds

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、接束を用いた幾何的構成により、アフィン特別実多様体から特別ケーラー多様体へのrマップを内在的に構成する。任意のアフィン特別実多様体の接束が自然に特別ケーラー構造を備えていることを証明し、ヘッセリアン幾何と接続を用いてrマップの幾何的実現を与える。また、正定値計量を備えたコンパクトで単連結な特別実多様体が存在しないことを示す。

ABSTRACT

We give an intrinsic definition of (affine very) special real manifolds and realise any such manifold $M$ as a domain in affine space equipped with a metric which is the Hessian of a cubic polynomial. We prove that the tangent bundle $N=TM$ carries a canonical structure of (affine) special Kähler manifold. This gives an intrinsic description of the $r$-map as the map $M\mapsto N=TM$. On the physics side, this map corresponds to the dimensional reduction of rigid vector multiplets from 5 to 4 space-time dimensions. We generalise this construction to the case when $M$ is any Hessian manifold.

研究の動機と目的

• 平坦で torsion-free な接続 ∇ と、∇-平行かつ完全対称なテンソル S = ∇g を用いた、アフィン特別実多様体の内在的定義を提供すること。
• 任意の単連結なアフィン特別実多様体が、計量 g が立方多項式 h のヘッセ行列の引き戻しとなるようなアフィン埋め込み ψ: R^n に埋め込めるようにすること。このとき (V,h) はアフィン変換を除いて一意的である。
• 任意のアフィン特別実多様体 (M,g,∇) の接束 TM に、自然な特別ケーラー構造 (J, g^N, ∇^N) を構成することで、rマップの幾何的実現を達成すること。
• ヘッセ多様体へのrマップの一般化を行い、その構造が平坦かつ特別ケーラーとなる条件を同定すること。
• 完全性およびアフィン超球面理論を用いて、正定値計量を備えたコンパクトで単連結な特別実多様体が存在しないことを証明すること。

提案手法

• アフィン特別実多様体を、平坦で torsion-free な接続 ∇ を備えた擬リーマン多様体 (M,g) として定義し、S = ∇g が完全対称的かつ ∇-平行であることを要請する。
• 任意の単連結なアフィン特別実多様体が、g が立方多項式 h のヘッセ行列の引き戻しとなるようなアフィン埋め込み ψ: R^n に埋め込めることが示され、(V,h) はアフィン変換を除いて一意的である。
• 多様体 M の幾何的データ (g, ∇) を用いて、接束 N = TM に自然な特別ケーラー構造 (J, g^N, ∇^N) を構成する。
• 接続 ∇^N が平坦かつ特別（すなわち ∇^N J が対称）であることは、(M,g,∇) が特別実であることと同値であり、このとき N 上の構造が再びヘッセ型であることは、M が特別実であることと同値であることを証明する。
• 特別ケーラー多様体 N = TM に、ラグランジュ的軌道をもつ自由な正則的かつ等長的 R^n 系が存在することを用い、M を商空間 N/R^n として再構成する。
• Calabi-Pogorelov の定理を適用し、N 上の計量 g^N が完全で二次のヘッセ型ポテンシャルを持つことを示し、∇^N がリーマン接続と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレポテンシャル関数に依存せずに、アフィン特別実多様体から特別ケーラー多様体へのrマップをどのように内在的に定義できるか？
• RQ2 アフィン特別実多様体 (M,g,∇) の接束 TM にどのような幾何的構造がrマップを自然な構成として実現するか？
• RQ3 rマップの構成をヘッセ多様体に一般化した場合、平坦性および特別ケーラー性が保存される条件は何か？
• RQ4 幾何的および曲率的議論を用いて、正定値計量を備えたコンパクトで単連結な特別実多様体が存在しないことを証明できるか？
• RQ5 rマップの像は、特別ケーラー多様体の目標の幾何的および位相的性質によってどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の単連結なアフィン特別実多様体 (M,g,∇) は、計量 g が立方多項式 h のヘッセ行列の引き戻しとなるようなアフィン埋め込み ψ: R^n に埋め込める。このとき (V,h) はアフィン変換を除いて一意的である。
• 任意のアフィン特別実多様体の接束 N = TM は、自然な特別ケーラー構造 (J, g^N, ∇^N) を備えており、rマップの幾何的実現を提供する。
• 接続 ∇^N が平坦であることは、(M,g,∇) が特別実であることと同値である。それ以外の場合は ∇^N は平坦でない。
• 得られる多様体 (N,J,g^N,∇^N) がヘッセ型であることは、(M,g,∇) が特別実であることと同値である。
• 計量 g^N のリーマン接続が ∇^N と一致するのは、(M,g,∇) が特別実であることと同値であり、この場合 ∇^N は平坦かつ torsion-free である。
• 正定値計量を備えた正の次元のコンパクトで単連結な特別実多様体は存在しない。これは、TM 上に誘導される計量が完全であり、Calabi-Pogorelov の定理により矛盾を引き起こすからである。