[論文レビュー] Geometric Embedding of Path and Cycle Graphs in Pseudo-convex Polygons

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、可視性の性質と線形走査を活用して平面的直線埋め込みを保証する、凸および擬凸多角形における最大サイズのパスおよびサイクルグラフの幾何的埋め込みのためのO(n)時間アルゴリズムを提示する。主な貢献は、すべての凹頂点を含む擬凸多角形におけるハミルトンサイクルの線形時間解法である。

ABSTRACT

Given a graph $ G $ with $ n $ vertices and a set $ S $ of $ n $ points in the plane, a point-set embedding of $ G $ on $ S $ is a planar drawing such that each vertex of $ G $ is mapped to a distinct point of $ S $. A straight-line point-set embedding is a point-set embedding with no edge bends or curves. The point-set embeddability problem is NP-complete, even when $ G $ is $ 2 $-connected and $ 2 $-outerplanar. It has been solved polynomially only for a few classes of planar graphs. Suppose that $ S $ is the set of vertices of a simple polygon. A straight-line polygon embedding of a graph is a straight-line point-set embedding of the graph onto the vertices of the polygon with no crossing between edges of graph and the edges of polygon. In this paper, we present $ O(n) $-time algorithms for polygon embedding of path and cycle graphs in simple convex polygon and same time algorithms for polygon embedding of path and cycle graphs in a large type of simple polygons where $n$ is the number of vertices of the polygon.

研究の動機と目的

• 凸および擬凸多角形におけるパスおよびサイクルグラフの幾何的埋め込みのための効率的アルゴリズムの開発。
• 頂点が多角形の頂点にのみマッピングされ、辺が多角形の辺と交差しない平面的直線埋め込みの保証。
• 点集合埋め込みに関する既存の結果を、幾何的制約を伴う構造的多角形領域へと拡張すること。
• 擬凸多角形における最大サイズのサイクル埋め込みが線形時間で計算可能であることを証明すること。

提案手法

• 擬凸多角形の性質の活用：すべての凹頂点がその隣接頂点から可視であり、Uターン頂点が存在しないこと。
• 多角形の頂点を反時計回りに走査し、すべての凹頂点を含むサイクルを形成する頂点の部分集合を選択すること。
• すべての辺が多角形の弦であることを保証することで、平面性を維持する線形時間走査戦略の適用。
• 平面性とサイクルサイズを保ったまま、既存の辺を凹頂点を含む新しい辺に置き換えること。
• 可視性と凸性を活用して、選択されたすべての辺が交差のない直線セグメントであることを保証すること。
• 背理法を用いて、任意の凹頂点が欠落している場合、最大性に矛盾することを証明し、結果として得られるサイクルが最大かつ平面的であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸多角形における最大サイズのパスおよびサイクルグラフは、O(n)時間で直線辺と交差なしに埋め込み可能か？
• RQ2 擬凸多角形のすべての凹頂点を含むサイクルを線形時間で埋め込み可能か？
• RQ3 擬凸多角形のどのような構造的性質が線形時間サイクル埋め込みアルゴリズムを可能にするか？
• RQ4 サイクル構築中に平面性を維持するために、可視性と凸性をどのように活用できるか？
• RQ5 擬凸多角形にUターン頂点が存在しないという性質は、効率的かつ最適なサイクル埋め込みを可能にするか？

主な発見

• n頂点を持つ凸多角形における最大サイズのサイクルグラフの埋め込みのためのO(n)-時間アルゴリズムが存在する。
• アルゴリズムは、擬凸多角形のすべての凹頂点が、交差のない形で埋め込みサイクルに含まれることを保証する。
• 擬凸多角形における最大サイズのサイクルは、平面性と直線辺を保ったままO(n)時間で構築可能である。
• 辺の置き換え戦略により、擬凸多角形においてすべての凹頂点を含むサイクルが常に構築可能であることを証明した。
• 可視性と凸性に基づく頂点選択戦略を用いることで、線形時間の計算量を維持している。
• 本稿では、一般の単純多角形では問題が未解決のままであるが、NP困難であると予想されている。