[論文レビュー] Geometric height inequality on varieties with ample cotangent bundles

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Nov 10, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、関数体上に定義された余接束が豊富な多様体に対して、幾何的高さの不等式を確立し、有理点の高さが、適切な閉部分集合を除いて、対数的判別式に関して線形的にしか増加しないことを証明する。主な結果は、特定の関数体上に有理点が存在しないというNoguchiの定理を含意しており、算術幾何における予想される有限性性質を裏付ける。

ABSTRACT

Let F be a function field of one variable over an algebraically closed field of characteristic zero, X a geometrically irreducible smooth projective variety over F, and L a line bundle on X. In this note, we will prove that if the contangent bundle of X is ample and X is non-isotrivial, then there are a proper closed algebraic set Y of X and a constant A > 0 such that h_L(P) <= A d(P) + O(1) for all P \in X(\bar{F}) \ Y(\bar{F}), where h_L(P) is a geometric height of P with respect to L and d(P) is the geometric logarithmic discriminant of P. As corollary of the above height inequality, we can recover Noguchi's theorem, i.e. there is a non-empty Zariski open set U of X with U(F) = \emptyset.

研究の動機と目的

• 関数体上の多様体における有理点の幾何的高さと対数的判別式との間の高さ不等式を確立すること。
• 余接束が豊富な多様体における有理点の算術的性質を調査すること。
• 特定の関数体設定において有理点が存在しないというNoguchiの定理を回復すること。
• 余接束の豊富性を幾何的制約として用いることで、既知の算術幾何の結果を拡張すること。

提案手法

• 関数体 F 上に定義された滑らかで射影的な多様体 X における余接束の豊富性を利用する。
• 幾何的高さ理論を用いて、線分束 L に関する点 P の高さ h_L(P) を定義する。
• 点 P の算術的複雑性の尺度として、幾何的対数判別式 d(P) を導入する。
• 高さと判別式の比較議論を用い、適切な閉部分集合 Y の外では h_L(P) ≤ A·d(P) + O(1) を示す。
• X が F 上で非等質的であることにより、算術的構造の非退化性を保証する。
• Arakelov理論および関数体算術の結果を応用して、不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接束が豊富な多様体上での有理点の幾何的高さは、その判別式に対してどのように振る舞うか？
• RQ2 このような多様体に対して、高さと判別式の間で一様な境界を確立できるか？
• RQ3 余接束の豊富性は、関数体設定における有理点の有限性または希少性を意味するか？
• RQ4 高さ不等式は、Noguchiの定理が示す有理点の非存在性をどの程度含意するか？
• RQ5 非等質性は、有理点の算術的性質を制約する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 幾何的高さ不等式 h_L(P) ≤ A·d(P) + O(1) が、X(\bar{F}) から適切な閉部分集合 Y を除いたすべての P に対して成り立つ。
• 定数 A > 0 は多様体 X と線分束 L のみに依存する。
• この不等式は、X の余接束が豊富で、X が F 上で非等質的であるという条件下で確立される。
• この結果は、有理点が高さと判別式の意味で疎であることを示し、有限性予想を支持する。
• 系として、Noguchiの定理が回復される：X の非空なZariski開部分集合 U が存在し、U(F) = ∅ である。
• 証明は、幾何的正則性（豊富な余接束）と関数体における算術的制約の相互作用に依存する。