[論文レビュー] Geometric Interpretation of Electromagnetism in a Gravitational Theory with Torsion and Spinorial Matter

Kenichi Horie|ArXiv.org|Jan 13, 1996

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論を複素線形接続へと拡張することで、重力と電磁気を幾何学的に統一する手法を提案する。この接続はスピン系物質に結合するねじれを導入する。非計量的ベクトル部であるねじれは幾何学的に電磁ポテンシャルを実現するが、この対応関係は特定のU(1)ゲージにおいてのみ成り立つ。これは根本的な相互作用ではなく、下位の拡張幾何構造から形式的に導かれるものである。

ABSTRACT

Possible geometric frameworks for a unified theory of gravity and electromagnetism are investigated: General relativity is enlarged by allowing for an arbitrary complex linear connection and by constructing an extended spinor derivative based on the complex connection. Thereby the spacetime torsion not only is coupled to the spin of fermions and causes a four-fermion contact interaction, but the non-metric vector-part of torsion is also related to the electromagnetic potential. However, this long-standing relation is shown to be valid only in a special U(1) gauge, and it is a formal consequence of the underlying extended geometry.

研究の動機と目的

• 標準的一般相対性理論を超えた重力と電磁気を統一する幾何的枠組みを探索すること。
• スピン系場へのねじれの寄与と、電磁ポテンシャルの幾何的実現可能性を調査すること。
• 重力的および電磁気的類似構造を統合するために、複素線形接続を用いてスピン場の微分を拡張すること。
• 電磁ポテンシャルがねじれのベクトル部と特定の条件下で同一視できる条件を明確にすること。
• この幾何的同一視が、普遍的な物理法則ではなく、特定のゲージ選択における形式的妥当性を確立すること。

提案手法

• 時空に複素線形接続を採用し、リーマン接続（Levi-Civita接続）を超えてアフィン接続を一般化する。
• フェルミオン系物質の内在的スピンに結合する、複素接続に基づく拡張されたスピン場微分を構築する。
• ねじれを接続の反対称部として導入し、ゲージ場と関連づけることのできる非計量的ベクトル成分を導入する。
• 特定のU(1)ゲージ選択において、ねじれのベクトル部を電磁ポテンシャルと同一視する。
• 微分幾何学およびスピンループ計算の形式的枠組みを用いて、重力的および電磁気的類似項を含む場の運動方程式を導出する。
• 電磁ポテンシャルとねじれの幾何的同一視がゲージ依存的であり、普遍的ではないが、拡張された枠組み内では形式的に整合的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれとスピン系場を有する理論において、電磁ポテンシャルを時空接続の一部として幾何学的に実現できるか？
• RQ2 この拡張された幾何的枠組みにおいて、ねじれの非計量的ベクトル部は電磁四元ポテンシャルとどのように関係するか？
• RQ3 ねじれと電磁ポテンシャルの同一視が有効となるゲージまたは条件下は何か？
• RQ4 複素線形接続が、ねじれとスピン場結合を通じて重力と電磁気を統一する役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ5 ねじれと電磁気の幾何的対応関係は、根本的な物理的関係か、それとも選択された幾何構造の形式的結果か？

主な発見

• 特定のU(1)ゲージ選択において、時空ねじれの非計量的ベクトル部を電磁ポテンシャルと幾何学的に同一視できる。
• この同一視は普遍的ではないが、複素線形接続に基づく拡張幾何構造から形式的に導かれる結果である。
• 複素接続から構築された拡張スピン場微分は、フェルミオンのスピンに正しく結合でき、スピン系物質の幾何的枠組みへの統合を可能にする。
• ねじれはフェルミオンのスピンに結合し、四フェルミオン接触相互作用を生じさせ、スピン系場への重力的効果と整合的である。
• 電磁気と重力の幾何的統一は、制限されたゲージにおいてのみ成立し、対応関係が根本的ではなく、構造依存的であることを示唆する。
• 形式的枠組みにより、ねじれと電磁気の幾何的解釈が、ねじれとスピン系物質を有する統一重力理論内において一貫して可能である。