[論文レビュー] Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings

Ivan Mirković, Kari Vilonen|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、複素数の再帰的代数群 $G$ のアフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheafを用いて、任意の可換環上での双対再帰的群 $\check{G}$ を幾何的に構成する幾何的サタケ同型を確立する。Tannakian形式主義と半無限大シューベルト胞体を用い、$\Bbbk$-係数の $G_{\mathcal{O}}$-同変 perverse sheafのテンソル圏と $\check{G}_{\Bbbk}$ の有限次元表現のテンソル圏との同値性を示し、$\mathbb{Z}$ 上のチェバレー群スキームの標準的・整数係数の構成を提供する。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric version of the Satake isomorphism. Given a connected complex reductive algebraic group, we show that the category of representations of its Langlands dual is naturally equivalent to a certain category of perverse sheaves on the complex affine Grassmannian. We can work with perverse sheaves with coefficients in an arbitrary commutative ring and then we recover the representation theory of the split form of the dual group over the commutative ring.

研究の動機と目的

• 任意の可換環上での双対再帰的群 $\check{G}$ を、再帰的群 $G$ から幾何的・標準的に構成すること。
• アフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheafの圏が、$\check{G}$ の有限次元表現の圏に同値であるような幾何的サタケ同型を確立すること。
• 標準的・整数係数を用いて、$\mathbb{Z}$ 上のチェバレー群スキーム $\check{G}_{\mathbb{Z}}$ を明示的に構成すること。
• サタケ同型を特徴的ゼロを超える一般化し、幾何的手法を用いてすべての体および可換環上での表現論を可能にすること。
• 半無限大シューベルト胞体を用いた perverse cell 分解により、$\mathbb{Z}$ 上でもコホモロジーの基底を提供するアフィングラスマンニアンの分解を構成すること。

提案手法

• 穴あき円板上の $G$-バンドルをパラメトライズするインダクティブなスキームとして、アフィングラスマンニアン $\mathcal{G}\text{r} = G(\mathbb{C}((z)))/G(\mathbb{C}[[z]])$ を構成する。
• $\mathcal{G}\text{r}$ 上の $G_{\mathcal{O}}$-同変な $\Bbbk$-係数 perverse sheafの圏 $\operatorname{P}_{G_{\mathcal{O}}}(\mathcal{G}\text{r}, \Bbbk)$ を定義する。
• この圏に畳み込み積を導入し、Tannakian形式主義を適用して、ファイバー関手の自己同型群として群スキーム $\check{G}_{\Bbbk}$ を再構成する。
• 半無限大シューベルト胞体を用いて、$\mathcal{G}\text{r}$ の perverse cell 分解を定義し、$\mathbb{Z}$ 上での標準的層のコホモロジーの基底を提供する。
• 極限における商の選び方に依存しない根データの正しさを示すことにより、得られた $\check{G}_{\Bbbk}$ がチェバレー群スキームであることを証明する。
• ドリンフェルトの畳み込み積解釈を用いて、圏の同値性 $\operatorname{P}_{G_{\mathcal{O}}}(\mathcal{G}\text{r}, \Bbbk) \simeq \operatorname{Rep}_{\check{G}_{\Bbbk}}$ がテンソル構造および可換制約と両立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対群 $\check{G}$ は、根データの双対性に依存せずに $G$ から幾何的に構成可能か？
• RQ2 幾何的手法を用いて、チェバレー群スキーム $\check{G}_{\mathbb{Z}}$ の標準的・整数係数の構成が可能か？
• RQ3 サタケ同型は、特徴的ゼロを超える任意の可換環へ一般化可能か？
• RQ4 半無限大シューベルト胞体は、整数係数を伴うアフィングラスマンニアンの perverse cell 分解を提供するか？
• RQ5 任意のノエター的可換単位的環 $\Bbbk$ に対して、$G_{\mathcal{O}}$-同変な perverse sheaf と $\check{G}_{\Bbbk}$-表現との間で、幾何的サタケ同値がテンソル同値として成立するか？

主な発見

• $\mathcal{G}\text{r}$ 上の $G_{\mathcal{O}}$-同変な $\Bbbk$-係数 perverse sheafの圏は、テンソル圏として $\check{G}_{\Bbbk}$-有限次元表現の圏と同値である。
• $\check{G}_{\Bbbk}$ の構成は標準的で、選択に依存せず、$\check{G}_{\mathbb{Z}}$ は $\mathbb{Z}$ 上のチェバレー群スキームとして同定される。
• アフィングラスマンニアン上の標準的層のコホモロジーは、半無限大シューベルト胞体を用いて $\mathbb{Z}$ 上の基底をもつ。これは $\mathbb{C}$ 上でも新規な結果である。
• この同値性は、$\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}$, $\overline{\mathbb{F}}_q$ を含む、すべてのノエター的可換単位的環 $\Bbbk$ に対して成り立つ。
• 有限型商の極限として構成された群スキーム $\widetilde{G}_{\mathbb{Z}}$ は、$\check{G}_{\mathbb{Z}}$ と同型であり、その同型はユニポテンツ同型定理によって誘導される。
• 証明は、まず $\mathbb{Z}$ 上で行い、その後正の特徴的体への結果を帰納的に得る。正の特徴的体における直接的証明は、現在のところ実行可能でないとされている。