[論文レビュー] Geometric local epsilon factors

Quentin Guignard|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全な残渣体をもつ正の等特徴的 $p \neq \ell$ のヘンゼル離散付値体上の $Îffi$-進ガロア表現に対して、幾何的局所 $\varepsilon$-因子のコホロロジー的構成を与える。特に対象となるのは、特徴的 $p$ の完全体上の曲線における $Îffi$-進層のコホロロジーの行列式に関する積公式であり、その特徴づけは、誘導公式およびランク1の幾何的類体論との整合性を含む公理によってなされる。

ABSTRACT

Inspired by the work of Laumon on $\varepsilon$-factors and by Deligne's $1974$ letter to Serre, we give an explicit cohomological definition of $\varepsilon$-factors for $\ell$-adic Galois representations over henselian discrete valuation fields of positive equicharacteristic $p eq \ell$, with (not necessarily finite) perfect residue fields. These geometric local $\varepsilon$-factors are completely characterized by an explicit list of purely local properties, such as an induction formula and the compatibility with geometric class field theory in rank $1$, and satisfy a product formula for $\ell$-adic sheaves on a curve over a perfect field of characteristic $p$.

研究の動機と目的

• 正の等特徴的 $p \neq \ell$ で完全な残渣体をもつヘンゼル離散付値体への局所 $\varepsilon$-因子理論の拡張を図り、有限残渣体からの古典的結果を一般化すること。
• ねじれ $Îffi$-進層およびガブラー・カッツ拡張を用いた、幾何的局所 $\varepsilon$-因子の明示的コホロロジー的定義を提供すること。
• 特徴的 $p$ の完全体上の曲線における $Îffi$-進層のコホロロジーの行列式に関する積公式を確立し、局所 $\varepsilon$-因子をグローバルな算術的不変量と結びつけること。
• 誘導、ランク1類体論との整合性、およびスカイクラッシャー層への正規化を含む、純粋に局所的な公理のリストによって幾何的局所 $\varepsilon$-因子を特徴づけること。

提案手法

• 完全な残渣体をもつヘンゼル的特徴の下で、ねじれ $Îffi$-進層とトレース写像を含むコホロロジー的公式を用いて、幾何的局所 $\varepsilon$-因子を構成する。
• ガブラー・カッツ拡張を用い、特に1点での分岐が生じる場合に、局所 $\varepsilon$-因子と曲線上の層のコホロロジーの行列式とを関連付ける。
• 有限的エタールな拡張の下で、$Îffi$-進層の誘導公式を、ヴェルラージェング写像と導出公式を用いて導出する。
• ランク1の幾何的類体論を適用し、特にランク1の層の場合は、既知の再帰性法則と整合することを検証する。
• 分岐が $0$ と $\infty$ に集中する $\mathbb{P}^1$ への還元を、有限準同型を用いて、$\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ 上の局所系に帰着させる。
• ねじれ層の理論、双対性、フーリエ変換の理論を組み合わせ、各点における $\varepsilon$-因子の明示的計算を通じて、グローバルな積公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等特徴的ヘンゼル体で完全な残渣体をもつ $Îffi$-進ガロア表現に対して、古典的理論（有限残渣体の場合）を一般化して、局所 $\varepsilon$-因子を明示的に定義する方法は何か？
• RQ2 この一般化された設定において、幾何的局所 $\varepsilon$-因子を一意に特徴づける公理的性質は何か。特に、誘導公式と類体論との整合性は？
• RQ3 特徴的 $p$ の完全体上の曲線における $Îffi$-進層のコホロロジーの行列式に対して、グローバルな積公式が成り立つか？そのとき、局所 $\varepsilon$-因子が局所的寄与を果たすか？
• RQ4 $\varepsilon$-因子は、層のフーリエ変換の行列式といったコホロロジー的不変量の観点から明示的に計算可能か？
• RQ5 有限的エタールな準同型の下で $\varepsilon$-因子はどのように振る舞い、ヴェルラージェング写像は誘導公式においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 幾何的局所 $\varepsilon$-因子は、点における層のフーリエ変換の行列式を含むコホロロジー的公式により明示的に構成され、$\mathbb{Q}_\ell$ の有限拡大値をとる連続なガロア的特徴に一致する。
• $Îffi$-進層の有限的エタールな拡張の下で、ヴェルラージェング写像、導出、および拡張のシグネチャを含む、明確な誘導公式が成り立つ。
• ランク1の層に対しては、$\varepsilon$-因子は幾何的類体論からの古典的局所 $\varepsilon$-因子と一致し、既知の再帰性法則と整合する。
• 曲線上の $Îffi$-進層のコホロロジーの行列式に関する積公式は、$\varepsilon_{\overline{k}}(X,\mathcal{F}) = \chi_{\mathrm{cyc}}^{-\mathrm{rk}(\mathcal{F})} \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{A}_{(0)},\mathcal{F},dt) \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{P}_{(\infty)},\mathcal{F},dt)$ として確立され、分岐が高々1点に集中する層に対して成り立つ。
• $\infty$ における $\varepsilon$-因子は、$\langle \chi_{\det(\mathrm{F}_{\psi}^{(\infty,0^\prime)}(\mathcal{F}_{|\mathbb{P}_{(\infty)}}))} \rangle(t')^{-1} = \chi_{\mathrm{cyc}}^{-\mathrm{rk}(\mathcal{F})} \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{P}_{(\infty)},\mathcal{F},dt)$ という式により、$\infty$ におけるフーリエ変換の行列式の逆と関連づけられる。
• グローバルな積公式は、分岐が $0$ と $\infty$ に集中する $\mathbb{P}^1$ の場合に還元され、コホロロジー双対性、ねじれ層の理論、およびフーリエ変換の性質を組み合わせて証明される。