[論文レビュー] Geometric models for higher Grothendieck-Witt groups in A1-homotopy theory

Marco Schlichting, Girja Shanker Tripathi|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2 が底 scheme 上で可逆であるという条件下で、より高いグロチェンドッケ・ウット群（代数的ヘルミート K-群）が、$Ä^1$-ホモトピー圏における無限正規直交グラスマンニアン $Ä^1$-ホモトピー型によって表現されることを確立する。主な結果は、無限正規直交グラスマンニアン $Ä^1$-空間と無限直交群のエタール分類空間との間の $Ä^1$-ホモトピー同値性であり、これによりより高いグロチェンドッケ・ウット群が、あるスパイングスペクトラムからこの空間への $Ä^1$-ホモトピー類として実現される。

ABSTRACT

We show that the higher Grothendieck-Witt groups, a.k.a. algebraic hermitian K-groups, are represented by an infinite orthogonal Grassmannian in the A1-homotopy category of smooth schemes over a regular base for which 2 is a unit in the ring of regular functions. We also give geometric models for various P1- and S1-loop spaces of hermitian K-theory.

研究の動機と目的

• 滑らかさを持つ scheme の $Ä^1$-ホモトピー圏におけるより高いグロチェンドッケ・ウット群の幾何的モデルを確立すること。
• Quillen–Voevodsky の代数的 K-理論の表現を、$Ä^1$-ホモトピー理論を用いてヘルミート K-理論へ拡張すること。
• 無限正規直交グラスマンニアンが $Ä^1$-ホモトピー同値性を介してより高いグロチェンドッケ・ウット群を表現することを証明すること。
• グロチェンドッケ・ウット理論の $n$-重 $Ä^1$-ループ空間のための幾何的モデルを構成すること。
• K-理論における既知の結果に類似した、グロチェンドッケ・ウット理論における不安定作用素の分類のための基盤を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、ハイパボリックバンドル $H^n \perp H^n$ 内の最大的自己正規部分バンドルのグラスマンニアンの列挙極限として、無限正規直交グラスマンニアン $\mathrm{GrO}_\bullet$ を定義する。このとき、誘導された対称的双線形形式を備える。
• 彼らは、$\underline{\mathbb{Z}} \times \mathrm{GrO}_\bullet$ から無限直交群のエタール分類空間 $B_{\text{et}}O$ への写像を構成し、滑らかでアフィンな $S$-スキーム上で弱同値であることを示す。
• グロチェンドッケ・ウット空間がホモトピー的不変であり、Nisnevich ブラウン＝ジャーベン性質を満たすという事実を用いて、$GW_i(X) \cong [X_+ \wedge S^i, \mathrm{GrO}_\bullet]_{\mathscr{H}_\bullet(S)}$ を確立する。
• 彼らは、単体的プレシャーファー技法とホモトピー列挙極限を用いて、グロチェンドッケ・ウット空間の $Ä^1$-ホモトピー型を分析する。
• Quillen の定理 A と Bousfield-Kan のホモトピー列挙極限の道具立てを用いて、カテゴリのホモトピー列挙極限から列挙極限への標準的写像がホモトピー同値であることを証明する。
• 彼らは、素朴な $Ä^1$-ホモトピーと $\Delta R$-評価における単体的ホモトピーとの関係を、基本的な $Ä^1$-ホモトピーと単体的ホモトピー論を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 が正則な底スキーム上で可逆である滑らかな scheme の $Ä^1$-ホモトピー圏において、より高いグロチェンドッケ・ウット群は幾何的に表現可能か？
• RQ2 無限正規直交グラスマンニアン $\mathrm{GrO}_\bullet$ は、グロチェンドッケ・ウット空間 $GW$ の $Ä^1$-ホモトピー的モデルか？
• RQ3 エタール分類空間 $B_{\text{et}}O$ は、$\mathrm{GrO}_\bullet$ と同じ $Ä^1$-ホモトピー型を表すか？
• RQ4 $GW$ の $n$-番目の $Ä^1$-ループ空間のための幾何的モデルを構築可能か？
• RQ5 グロチェンドッケ・ウット空間 $GW^n$ はホモトピー的不変であり、Nisnevich ブラウン＝ジャーベン性質を満たすか？

主な発見

• 2 が $\Gamma(S, \mathcal{O}_S)$ に属するという条件下で、より高いグロチェンドッケ・ウット群 $GW_i(X)$ は、スパイングスペクトラム $X_+ \wedge S^i$ から $\mathbb{Z} \times \mathrm{GrO}_\bullet$ への $Ä^1$-ホモトピー類として自然に同型である。
• $\mathrm{GrO}_\bullet \to B_{\text{et}}O$ は $Ä^1$-ホモトピー同値である。これにより、無限正規直交グラスマンニアンが直交群のエタール分類空間をモデル化することが確立される。
• グロチェンドッケ・ウット空間 $GW$ は、$Ä^1$-ホモトピー圏において $\mathbb{Z} \times \mathrm{GrO}_\bullet$ によって表現される。これは、$K$-理論における Quillen–Voevodsky 結果の一般化である。
• $n$-番目の $Ä^1$-ループ空間 $GW^n$ は、$\mathrm{GrO}_\bullet$ の $n$-重ループ空間によって表現され、これらの空間はホモトピー的不変であり、Nisnevich ブラウン＝ジャーベン性質を満たす。
• $\Delta R$ で評価したとき、写像 $\underline{\mathbb{Z}} \times \mathrm{GrO}_\bullet \to \underline{\mathbb{Z}} \times B_{\text{et}}O \to GW$ は弱同値であり、したがって $\mathscr{H}_\bullet(S)$ 内で同型である。
• この構成により、K-理論における既知の分類に類似した、グロチェンドッケ・ウット理論における不安定作用素の分類のための幾何的枠組みが提供される。