[論文レビュー] Geometric Set Cover and Hitting Sets for Polytopes in $R^3$

Sören Laue|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対する幾何的集合被覆問題およびヒットングセット問題の、初めての定数倍近似アルゴリズムを提示する。この手法は、多面体の平行移動に対してサイズ $$O(1/\epsilon)$$ のイプシロンネットを構築することに依存しており、重み付きイプシロンネットの計算と、集合被覆問題とヒットングセット問題の双対性を用いて、効率的な近似が可能になる。

ABSTRACT

Suppose we are given a finite set of points $P$ in $\R^3$ and a collection of polytopes $\mathcal{T}$ that are all translates of the same polytope $T$. We consider two problems in this paper. The first is the set cover problem where we want to select a minimal number of polytopes from the collection $\mathcal{T}$ such that their union covers all input points $P$. The second problem that we consider is finding a hitting set for the set of polytopes $\mathcal{T}$, that is, we want to select a minimal number of points from the input points $P$ such that every given polytope is hit by at least one point. We give the first constant-factor approximation algorithms for both problems. We achieve this by providing an epsilon-net for translates of a polytope in $R^3$ of size $\bigO(\frac{1{ε)$.

研究の動機と目的

• 固定された多面体の平行移動を含む3次元幾何的設定における集合被覆問題およびヒットングセット問題の、効率的な近似アルゴリズムの開発を目的とする。
• 一般にはNP困難であり、任意の設定では近似が難しいという長年の課題に、これらの問題に対して定数倍近似が達成可能であることを示す。
• $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対して、小さなイプシロンネットの存在を確立し、これにより両問題に対して定数倍近似が可能になることを示す。
• 半空間や擬似ディスクなどのより単純な幾何的対象に対する既知のイプシロンネットの結果を、3次元における非凸的かつ非脂肪な多面体というより一般的な場合に拡張する。

提案手法

• 3次元における多面体の平行移動によって誘導される集合系に対して、問題を$$\mathbb{R}^2$$ 内の非ピアリングな対象の族に還元することで、サイズ $$O(1/\epsilon)$$ のイプシロンネットを構築する。
• 得られたイプシロンネットの構築を活用し、重み付きイプシロンネットの計算により、ヒットングセット問題に対する定数倍近似を得る。
• 原始的な集合系 $$(P, \mathcal{T})$$ とその双対 $$(\mathcal{T}, P^*)$$ の双対性を用いて、集合被覆問題を双対系上のヒットングセット問題に還元する。
• 線形計画法による重みとイプシロン値の設定を用いて、近似比 $$O(1)$$ を達成するヒットングセットを計算する。
• マトゥーシェクらの擬似ディスクに対するイプシロンネットのアルゴリズムを、多面体の平行移動から導かれる非ピアリングな対象の設定に一般化する。
• 反復的重み倍増法（ブロニマント＝ゴッダード法）またはLPに基づく重み割り当てを用いて、定数近似比を達成するヒットングセットを求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対する集合被覆問題に対して、定数倍近似アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ2 $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対するヒットングセット問題は、多面体が非凸的または非脂肪であっても、定数倍近似が可能か？
• RQ3 $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動によって誘導される範囲空間に対して、サイズ $$O(1/\epsilon)$$ のイプシロンネットを構築することは可能か？
• RQ4 3次元における多面体の平行移動によって誘導される原始的集合系に対して、集合被覆とヒットングセットの双対性が保たれるか？
• RQ5 $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対する双対集合系のVC次元は何か？ そして、これは有界のままであるか？

主な発見

• $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動によって誘導される集合系に対して、サイズ $$O(1/\epsilon)$$ のイプシロンネットが存在する。これは定数因子の意味で最適である。
• $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対するヒットングセット問題に対して、多項式時間で定数倍近似が可能なアルゴリズムが存在する。
• 双対性を用いることで、$$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動に対する集合被覆問題に対しても、多項式時間で定数倍近似が可能なアルゴリズムが存在する。
• $$\mathbb{R}^3$$ 内の多面体の平行移動によって誘導される集合系の双対集合系も、再び多面体の平行移動によって誘導されるため、幾何的構造が保存される。
• イプシロンネットの構築は、3次元問題を2次元の非ピアリングな対象に還元し、擬似ディスクに対するイプシロンネットのアルゴリズムを一般化することに依存する。
• 半空間や擬似ディスクに対する既存のイプシロンネットの結果を、非凸的かつ非脂肪な多面体を含む3次元における任意の多面体へと拡張した。