[论文解读] Geometric syntomic cohomology and vector bundles on the Fargues-Fontaine curve

Wiesława Nizioł|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了定义在 $\overline{K}$ 上的代数簇的几何纯粹上同调（geometric syntomic cohomology）可自然地提升至 Banach-Colmez 空间范畴，揭示了一类新的刚性 $p$-进霍奇结构，该结构在非典型情形下编码了更丰富的 $p$-进霍奇理论信息。本文证明了几何纯粹上同调计算了 $\overline{K}$ 上有效过滤 $\varphi$-模范畴中的 $\operatorname{Ext}$ 上同调群，并表明在非典型情形下，这些上同调群是具有非平凡 $C$-秩的有限维 Banach-Colmez 空间，以椭圆曲线的对称平方为例。

ABSTRACT

We show that geometric syntomic cohomology lifts canonically to the category of Banach-Colmez spaces and study its relation to extensions of modifications of vector bundles on the Fargues-Fontaine curve. We include some computations of geometric syntomic cohomology Spaces: they are finite rank $Q_p$-vector spaces for ordinary varieties, but in the nonordinary case, these cohomology Spaces carry much more information, in particular they can have a non-trivial $C$-rank. This dichotomy is reminiscent of the Hodge-Tate period map for $p$-divisible groups.

研究动机与目标

• 建立几何纯粹上同调到 Banach-Colmez 空间范畴的自然提升。
• 阐明几何纯粹上同调与法尔加斯-丰泰因曲线上向量丛的修正（modification）扩张之间的关系。
• 证明几何纯粹上同调是一种绝对 $p$-进霍奇上同调，其可计算为 $\overline{K}$ 上有效过滤 $\varphi$-模范畴中的 $\operatorname{Ext}$ 上同调群。
• 分析几何纯粹上同调群的结构，特别是其作为 Banach-Colmez 空间的维数，区分典型与非典型情形。

提出的方法

• 将几何纯粹上同调定义为几何晶体上同调的过滤 Frobenius 特征空间：$\mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{syn}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}},r) = [\mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{cr}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}})^{\varphi=p^r} \to \mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{cr}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}})/F^r]$。
• 证明该复形自然提升为有限维 Banach-Colmez 空间复形，从而赋予几何纯粹上同调一个刚性 $p$-进结构。
• 利用几何 $p$-进霍奇复形理论与 Beilinson 的基本引理，将纯粹上同调与 $\overline{K}$ 上有效过滤 $\varphi$-模范畴中的 $\operatorname{Ext}$ 上同调群联系起来。
• 构造涉及复形 $C(X_{\overline{K}})$ 及其子复形 $C^+(X_{\overline{K}})$ 的典型三角形，并证明商复形的伽罗瓦上同调的正合性，以确立主要比较结果。
• 分析几何纯粹上同调群的 $C$-秩，利用 de Rham 与 Hyodo-Kato 上同调的结构，证明其在非典型情形下非零。
• 对典型簇、曲线及椭圆曲线的乘积进行显式计算，计算 $H^0_+(\cdot)$ 与迹映射，以说明非平凡的 $C$-秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何纯粹上同调如何与法尔加斯-丰泰因曲线上向量丛的修正扩张的 $\operatorname{Ext}$ 群相关？
• RQ2 几何纯粹上同调作为 Banach-Colmez 空间的精确结构为何？其在典型与非典型簇之间有何差异？
• RQ3 几何纯粹上同调能否自然地提升至 Banach-Colmez 空间范畴？这对其 $p$-进霍奇理论性质有何含义？
• RQ4 $C$-秩在几何纯粹上同调中起什么作用？它如何检测非典型行为？
• RQ5 椭圆曲线的对称平方的几何纯粹上同调如何展现出比典型情形更丰富的结构？

主要发现

• 几何纯粹上同调可自然地提升至 Banach-Colmez 空间范畴，赋予其经典设定中所缺乏的刚性 $p$-进结构。
• 对于典型簇，几何纯粹上同调群是有限维 $\mathbf{Q}_p$-向量空间，即维数为 $(0,h)$ 的 Banach-Colmez 空间。
• 在非典型情形下，几何纯粹上同调群可具有非平凡的 $C$-秩，即维数为 $(d,h)$ 且 $d \geq 1$，编码了额外的 $p$-进霍奇理论信息。
• 上同调群同构于 $\overline{K}$ 上有效过滤 $\varphi$-模范畴中的 $\operatorname{Ext}$ 上同调群，从而确立了几何纯粹上同调作为绝对 $p$-进霍奇上同调的地位。
• 显式计算表明，对于椭圆曲线的对称平方，$H^0_+$ 群具有非平凡的 $C$-秩，展示了非典型现象的存在。
• 复形 $B(\mathrm{R}\Gamma^B_{\operatorname{dR}}(X_{\overline{K}}))$ 的伽罗瓦上同调是正合的，这对主要比较结果及纯粹周期映射的构造至关重要。