[論文レビュー] Geometrical phases and quantum numbers of solitons in nonlinear sigma-models

Alexander G. Abanov, P. Wiegmann|arXiv (Cornell University)|May 22, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非線形スカラー模型におけるソリトンが、手術的異常から生じる有効作用における幾何的位相を通じてフェルミオン的量子数—スピンと統計—を獲得することを示している。主な結果は、電荷Qを持つソリトンがスピンQ/2およびフェルミオン的統計を獲得することを示す電荷-スピン-統計対応であり、これは非摂動的θ項位相として表現され、2π回転または任意の統計交換過程でπQだけシフトする。

ABSTRACT

Solitons of a nonlinear field interacting with fermions often acquire a fermionic number or an electric charge if fermions carry a charge. We show how the same mechanism (chiral anomaly) gives solitons statistical and rotational properties of fermions. These properties are encoded in a geometrical phase, i.e., an imaginary part of a Euclidian action for a nonlinear sigma-model. In the most interesting cases the geometrical phase is non-perturbative and has a form of an integer-valued theta-term.

研究の動機と目的

• ソリトンが電荷以外のフェルミオン的量子数をどのように獲得するかを確立する。
• 非線形スカラー模型の有効作用における幾何的位相が、ソリトンのスピンと統計をどのように符号化するかを示す。
• 位相的カレントと関連する幾何的位相が、ソリトン励起状態におけるスピン-統計対応を担うことを示す。
• 手術的異常が、ソリトンにおけるフェルミオン的電荷およびフェルミオン的回転的／統計的性質を生成する役割を明確にする。
• CP^Mモデルを代表例として用いて、任意の標的空間および次元にわたる電荷-スピン-統計対応の一般化を達成する。

提案手法

• 著者たちは、(2+1)次元においてCP^Mに値をとるチャーミカルなスカラー場n̂と結合するディラックフェルミオンを含むフェルミオン的スカラー模型を用いる。
• フェルミオンを統合することでボソン的場の有効作用を導出し、実部と虚部を持つ非局所的有効作用が得られる。
• 有効作用の虚部であるImWは幾何的位相として特定され、位相的カレントJμとホイットニー数Γに比例するθ項を含む。
• 紫外発散の正則化を達成するため、位相的同値でない配置を接続する拡張された標的空間を通じた滑らかな補間を用いて幾何的位相を計算する。
• 空間的2π回転または任意のAnyon交換に対する位相シフトを、位相的カレントに結合するベクトルポテンタルを用いて計算し、位相的電荷Qのソリトンに対してπQのシフトが生じることを示す。
• M=1（CP^1 = S^2）およびM>1の場合の両方を検討し、両者において位相が整数値であり、トポロジカルに不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 手術的異常は、非線形スカラー模型のソリトンにおけるフェルミオン的スピンと統計の出現をどのように誘導するか？
• RQ2 非線形スカラー模型の有効作用における幾何的位相が、ソリトンの量子数をどのように符号化するか？
• RQ3 なぜ幾何的位相は非摂動的かつトポロジカルであり、作用におけるθ項とどのように関係するか？
• RQ4 位相的カレントJμは、回転や交換などの断続的過程におけるソリトンのスピンと統計とどのように関係するか？
• RQ5 電荷-スピン-統計対応は、異なる標的空間および時空次元にわたってどの程度普遍的か？

主な発見

• 非線形スカラー模型の有効作用における幾何的位相は非摂動的であり、整数値のθ項の形をとり、ソリトンの位相的電荷と直接関連している。
• 位相的電荷Qのソリトンに対して2π空間的回転を行うと、幾何的位相がπQだけシフトし、これはスピン量子数Q/2に対応する。
• 2つのソリトンを交換すると、同じπQの位相シフトが生じ、奇数Qのソリトンがフェルミ・ディラック統計を満たすことが示される。
• 位相的カレントJμは、場n̂とその微分を含むチャーン・シンコス型の式で定義され、有効作用において外部ゲージ場Aμと結合する。
• CP^Mモデルにおいて、幾何的位相はホモトピー型に依存するトポロジカル不変量として与えられ、連続変形に対して不変である。
• M=1およびM>1の両方で結果が成り立ち、M=1の場合はホップ不変量に対応し、M=1のときにはパリティ変換に対して位相が2π周期で不変である。