[論文レビュー] Geometrical Well Posed Systems for the Einstein Equations

Yvonne Choquet–Bruhat, James W. York|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 1995

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、 lapse 関数 $ N $ を適切に選ぶことで、アインシュタイン方程式を適切に定義された一次対称双曲型系として定式化する幾何的枠組みを確立する。任意の与えられたシフトに対して、外在的曲率 $ K $ が準線形波動方程式を満たすことが示され、$ \overline{g} $, $ K $, および $ N $ に対して幾何的で双曲型の系が構築され、真空中の時空において適切に定義された系が保証される。

ABSTRACT

We show that, given an arbitrary shift, the lapse $N$ can be chosen so that the extrinsic curvature $K$ of the space slices with metric $\overline g$ in arbitrary coordinates of a solution of Einstein's equations satisfies a quasi-linear wave equation. We give a geometric first order symmetric hyperbolic system verified in vacuum by $\overline g$, $K$ and $N$. We show that one can also obtain a quasi-linear wave equation for $K$ by requiring $N$ to satisfy at each time an elliptic equation which fixes the value of the mean extrinsic curvature of the space slices.

研究の動機と目的

• アインシュタイン方程式のための幾何的で適切に定義された一次対称双曲型系を構築すること。
• lapse $ N $ を適切に選ぶことで、外在的曲率 $ K $ が準線形波動方程式を満たすことを示すこと。
• 任意の座標選択およびシフト条件下でも、系が双曲型的かつ適切に定義されたままであることを保証すること。
• 数値相対性理論および数学的解析に適した幾何的に意味のある系を構築すること。
• 平均外在的曲率を $ N $ 上の楕円型方程式によって固定できる枠組みを提供し、$ K $ の制御を可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、空間計量 $ \overline{g} $, 外在的曲率 $ K $, および lapse $ N $ に対して一次対称双曲型系を導出する。
• 任意の任意のシフトベクトルに対して、$ K $ が準線形波動方程式を満たすように $ N $ を選ぶと、適切に定義された系が得られることを示す。
• この系は幾何的であるとされ、特定の座標選択に依存せず、一般相対性理論の微分同相変換不変性を保つ。
• 代替的手法として、空間断片の平均曲率を固定するために $ N $ を解く楕円型方程式を導入する。
• 得られた系が対称双曲型的であり、したがってフレドリクスの意味で適切に定義されたことが示される。
• この定式化は真空中で検証され、アインシュタイン方程式と整合性を保つことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン方程式は、幾何的で一次対称双曲型系として再定式化可能か？
• RQ2 lapse 関数 $ N $ はどのように選ぶべきか？ これにより、外在的曲率 $ K $ が準線形波動方程式を満たすようになる。
• RQ3 任意のシフト条件下でも、$ \overline{g} $, $ K $, および $ N $ のための適切に定義された系を構築可能か？
• RQ4 $ N $ 上の楕円型方程式によって平均外在的曲率を制御可能か？ そして、この方法は双曲型性を保つのか？
• RQ5 得られた系は真空中の時空でも幾何的かつ適切に定義されたままであるか？

主な発見

• 任意の与えられたシフトに対して、lapse $ N $ を適切に選ぶと、外在的曲率 $ K $ は準線形波動方程式を満たす。
• 幾何的で一次対称双曲型系が $ \overline{g} $, $ K $, および $ N $ に対して構築され、適切に定義されたことが保証される。
• シフトが任意であっても、系は適切に定義されたままであり、座標選択の柔軟性が示された。
• 代替的定式化として、$ N $ を解く楕円型方程式を導入することで、空間断片の平均曲率を固定し、双曲型性を維持することができる。
• 構築された系は真空中で有効であり、一般相対性理論の幾何的構造を保つ。
• 得られた結果は、数値相対性理論およびアインシュタイン方程式の数学的解析の基盤を提供する。