[論文レビュー] Geometrodynamics of Information on Curved Statistical Manifolds and its Applications to Chaos

Carlo Cafaro, Sean Alan Ali|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 43被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、エントロピー力学を用いて、曲がった統計多様体上での混沌の情報幾何的力学的アプローチ（IGAC）を導入し、混沌の度合いを測る新たな情報幾何的エントロピー（IGE）を提案する。6N次元の非最大対称でない統計多様体上での線形IGE増加とジャコビベクトル場の指数的発散を示し、3N自由度系における曲率、エントロピー、混沌的力学の関係を提示する。さらに、オーミック周波数分布を持つ非結合な逆ハーモニック振動子系を用いた検証により、漸近的に周波数の和に比例する線形エントロピー増加が得られる。

ABSTRACT

A novel information-geometrodynamical approach to chaotic dynamics (IGAC) on curved statistical manifolds based on Entropic Dynamics (ED) is presented and a new definition of information geometrodynamical entropy (IGE) as a measure of chaoticity is proposed. The general classical formalism is illustrated in a relatively simple example. It is shown that the hyperbolicity of a non-maximally symmetric 6N-dimensional statistical manifold M_{s} underlying an ED Gaussian model describing an arbitrary system of 3N degrees of freedom leads to linear information-geometric entropy growth and to exponential divergence of the Jacobi vector field intensity, quantum and classical features of chaos respectively. An information-geometric analogue of the Zurek-Paz quantum chaos criterion in the classical reversible limit is proposed. This analogy is illustrated applying the IGAC to a set of n-uncoupled three-dimensional anisotropic inverted harmonic oscillators characterized by a Ohmic distributed frequency spectrum.

研究の動機と目的

• 情報幾何学とエントロピー力学を用いて、古典的・量子的混沌の統一的特徴付けを達成すること。
• 曲がった統計多様体上での混沌の度合いを測る新たな情報幾何的エントロピー（IGE）を定義すること。
• 情報幾何的指標を用いて、ツレク＝パズの量子混沌基準の古典的可逆極限における類似物を確立すること。
• オーミック周波数分布を持つn個の非結合な三次元異方的逆ハーモニック振動子系を用いて、フレームワークの妥当性を検証すること。

提案手法

• 3N自由度の各々に対して平均と分散を持つガウス分布に従う微視的状態から、6N次元の統計多様体M_sを構築する。
• 相対エントロピーを最大化（ME）する手法を適用し、フィッシャー＝レイ情報計量を定義し、M_sのリーマン幾何学を導出する。
• M_sのリッチ曲率を計算し、それが定数かつ負であり、R_M_s = -3Nであることを特定する。これは自由度の数に比例する。
• ジャコビ＝レヴィ＝チビタ方程式を用いて測地線の分散を分析し、ジャコビベクトル場強度J_M_sが指数的に発散することを示す。
• 統計的体積の探索を時間積分として測る情報幾何的エントロピーS_M_sを導出し、時間とともに線形増加することを示す。
• n個の三次元逆ハーモニック振動子の集合にこのフレームワークを適用し、多様体をユークリッド空間と等角的に関係づけ、漸近的エントロピー増加を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報幾何学とエントロピー力学を用いて、古典的および量子的混沌の統一的特徴付けを達成できるか？
• RQ2 統計多様体のリッチ曲率は、近接する軌道の指数的発散といった混沌的挙動とどのように関係するか？
• RQ3 多くの自由度を持つ系において、情報幾何的エントロピーは時間とともに線形に増加するか？また、自由度の数に依存するか？
• RQ4 古典的可逆極限において、ツレク＝パズの量子混沌基準の情報幾何的類似物を定式化できるか？
• RQ5 オーミック周波数分布を持つn個の非結合な異方的逆ハーモニック振動子系において、情報幾何的エントロピーの漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• ガウスEDモデルの背後にある6N次元の統計多様体M_sは、定数かつ負のリッチ曲率R_M_s = -3Nを示し、自由度の数に比例する。
• 情報幾何的エントロピーS_M_sは時間とともに線形に増加し、自由度の数に比例する。S_M_s ∝ τである。
• ジャコビベクトル場強度J_M_sは時間とともに指数的に発散し、自由度の数に比例する。これは強い混沌的不安定性を示唆する。
• n個の三次元異方的逆ハーモニック振動子系において、漸近的情報幾何的エントロピーは時間とともに線形に増加し、S_M_IHO ∝ Ωτとなる。ここでΩ = ∑ω_iは周波数の和である。
• 本モデルにより、ツレク＝パズの量子混沌基準の古典的類似物が確立され、線形IGE増加が量子的条件下での線形フォン・ノイマンエントロピー増加に対応する。
• 結果として、リッチ曲率、情報幾何的エントロピー、ジャコビ場の発散の間には強い関連性が確認され、これらすべてが自由度の数に比例する。これは混沌の幾何的特徴付けを支持する。