[論文レビュー] Geometry and the Quantum

Alain Connes|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続的な4次元幾何と有限の非可換空間の積として時空をモデル化することにより、重力と標準模型を統一するスペクトル非可換幾何の枠組みを提案する。クリフォード代数から導かれる高次ハイゼンベルク関係とスペクトル作用原理を用い、アインシュタイン重力と標準模型のパティ・サラム拡張が得られ、時空体積の自動的量子化とヒッグス機構の幾何的起源が得られる。

ABSTRACT

We give a survey of our joint ongoing work with Ali Chamseddine, Slava Mukhanov and Walter van Suijlekom. We show how a problem purely motivated by "how geometry emerges from the quantum formalism" gives rise to a slightly noncommutative structure and a spectral model of gravity coupled with matter which fits with experimental knowledge. This text will appear as a contribution to the volume: "Foundations of Mathematics and Physics one century after Hilbert". Editor: Joseph Kouneiher. Collection Mathematical Physics, Springer 2017

研究の動機と目的

• 非可換幾何を用いて重力と素粒子物理学の標準模型を統一すること。
• ヒッグス機構と標準模型の有限次元的内部空間の幾何的基盤を提供すること。
• 基本的なスペクトル原理からアインシュタイン＝ヒルベルト作用と物質の結合を導出すること。
• 時空体積の量子化と代数的構造から生じる4次元スピン幾何の出現を説明すること。
• 物理と幾何の予量子統一の概念的および数学的基盤を探索すること。

提案手法

• 時空をスペクトル三重対 $({\mathcal{A}}, {\mathcal{H}}, D)$ としてモデル化し、$D$ をディラック作用素、$\mathcal{A}$ を非可換代数とする。
• スペクトル作用原理を適用し、ディラック作用素の関数のトレースからアインシュタイン＝ヒルベルト作用と物質の結合が生成されることを示す。
• クリフォード代数から導かれる高次ハイゼンベルク交換関係を用い、4次元スピン幾何とその量子化を特徴付ける。
• 非可換ゲージ変換によるメトリックの内部フラクチュエーションを実装し、ヤン＝ミルズおよび重力的セクターを生成する。
• $KO$-理論と指数定理を用い、$KO$次元6 mod 8の有限非可換幾何を分類し、標準模型と一致させる。
• Wick回転とユークリッド経路積分形式を適用し、量子場理論と接続する。境界項とドライソンの凍結が自然に出現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何は、ヒッグス機構と標準模型の内部対称性の幾何的起源をどのように提供できるか？
• RQ2 重力と標準模型が結合した完全な作用が、単一の基本的スペクトル原理から導けるか？
• RQ3 有限非可換空間が、素粒子の内容とゲージ群構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 スペクトル作用は、時空体積の量子化と宇宙定数項の不在をどのように導くか？
• RQ5 フェルミオンの世代数は、非可換幾何におけるトポロジカルまたは代数的構造から生じるか？

主な発見

• スペクトル作用原理は、有限非可換空間の幾何を用いて、ヒッグス機構を含むアインシュタイン＝ヒルベルト作用と標準模型を再現する。
• スペクトル三重対にアティヤ＝シンガーの指数定理を適用することで、4次元時空の体積が自動的に量子化される。
• ディラック作用素とフェ Feynman のスラッシュ座標の間の高次ハイゼンベルク交換関係から、4次元スピン幾何に対応する既約表現が得られる。
• モデルは自然にゲージ群のパティ＝サラム統一を生じさせ、高エネルギーで結合定数が統一されることを示しており、シャムセディンとヴァン・スイジェレムとの共同研究で確認されている。
• 境界を持つコンパクトな4次元多様体にスペクトル作用を適用すると、外在的曲率を含む境界項が自然に出現し、ホーキングとギブンズの結果と一致する。
• 重力的作用におけるドライソンモードが高次ハイゼンベルク方程式によって凍結され、関数的積分における符号問題が解決される。