[論文レビュー] Geometry of contact transformations and domains: orderability vs. squeezing

Yakov Eliashberg, Sang Seon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2005

Geometric and Algebraic Topology被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、一般化されたフローリーhomology理論と新しい埋め込み技術を用いて、大スケールでの接触非圧縮性を確立し、接触順序可能性が位相的に敏感であることを示している—標準接触球面では非順序可能だが、実射影空間では順序可能である—一方、小スケールでは非圧縮性が消失する。

ABSTRACT

Gromov's famous non-squeezing theorem (1985) states that the standard symplectic ball cannot be symplectically squeezed into any cylinder of smaller radius. Does there exist an analogue of this result in contact geometry? Our main finding is that the answer depends on the sizes of the domains in question: We establish contact non-squeezing on large scales, and show that it disappears on small scales. The algebraic counterpart of the (non)-squeezing problem for contact domains is the question of existence of a natural partial order on the universal cover of the contactomorphisms group of a contact manifold. In contrast to our earlier beliefs, we show that the answer to this question is very sensitive to the topology of the manifold. For instance, we prove that the standard contact sphere is non-orderable while the real projective space is known to be orderable. Our methods include a new embedding technique in contact geometry as well as a generalized Floer homology theory which contains both cylindrical contact homology and Hamiltonian Floer homology. We discuss links to a number of miscellaneous topics such as topology of free loops spaces, quantum mechanics and semigroups. An erratum is attached whose purpose is to is to correct a number of inconsistencies in the main paper. These are related to the grading of generalized Floer homology and do not affect formulations and proofs of the main results of the paper.

研究の動機と目的

• 接触幾何学において、グロモフの非圧縮定理の接触版が存在するかどうかを特定すること。
• 接触多様体の接触微分同相群の普遍被覆に自然な部分順序が存在するかどうかを調査すること。
• 接触順序可能性および非圧縮性の位相的依存性を明確にすること。
• 円筒接触ホモロジーとハミルトニアンフローリーhomologyを統合する一般化されたフローリーhomology理論を構築すること。
• 接触幾何学、ループ空間、量子力学、および半群論との関係を探索すること。

提案手法

• 接触幾何における新しい埋め込み技術を導入し、シンプレクティックおよび接触的埋め込みを分析する。
• 円筒接触ホモロジーとハミルトニアンフローリーhomologyの両方を組み込む一般化されたフローリーhomology理論を構築する。
• 一般化されたフローリーhomologyを用いて、接触多様体における非圧縮現象を検出する。
• 一般化されたフローリーhomologyのグレーディング構造を分析し、以前の定式化における不整合を解消する。
• ホモロジーから導かれる位相的不変量を用いて、順序可能と非順序可能な接触多様体を区別する。
• 接触位相幾何学、シンプレクティック剛性、および接触微分同相群の普遍被覆における代数的構造の相乗作用に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触版のグロモフの非圧縮定理は成り立つか、成り立つならばどのような条件下で成り立つか？
• RQ2 接触微分同相群の普遍被覆に自然な部分順序が存在するかどうかを決定するのは何であるか？
• RQ3 接触領域のサイズが非圧縮現象の存在にどのように影響するか？
• RQ4 多様体の位相が接触順序可能性に果たす役割は何か？
• RQ5 円筒接触ホモロジーとハミルトニアンフローリーhomologyの両方を含む統一されたフローリーhomology理論をどのように構築できるか？

主な発見

• 接触非圧縮性は大スケールで確立され、グロモフのシンプレクティック非圧縮性の接触版を示している。
• 非圧縮性は小スケールで消失し、領域サイズに応じた接触剛性の段階的転移を示している。
• 標準接触球面は非順序可能である一方、実射影空間は既知の通り順序可能である。
• 接触微分同相群の普遍被覆に自然な部分順序が存在するかどうかは、接触多様体の位相に極めて敏感である。
• 円筒接触ホモロジーとハミルトニアンフローリーhomologyを統合する新しい一般化されたフローリーhomology理論が構築され、非圧縮性を検出するための主要な道具となっている。
• 誤植訂正により、一般化されたフローリーhomologyのグレーディングの不整合が是正されたが、主な結果や証明に影響を与えない。