[論文レビュー] Geometry of Houghton's Groups

Sang‐Rae Lee|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Houghton群 $\chi_n$ が $n$ 次元の CAT(0) 連結立方複体 $X_n$ 上に適切で等長的かつ高さを保つ作用を定義し、$\chi_n$ が型 $F_{n-1}$ ではあるが $F_n$ ではないことを確立する。$n > 3$ のとき $\chi_n$ の有限提示を与えるとともに、$n \geq 3$ のとき指数的等周不等式を証明する。この構成は、非正曲率の立方体的設定に Brown の細胞複体を一般化し、群の有限性および等周性の幾何学的・組合せ論的解析を可能にする。

ABSTRACT

Hougthon's groups H_n is a family of groups where each H_n consists of `translations at infinity' on n rays of discrete points emanating from the origin on the plane. Brown shows H_n has type FP_n-1 but not FP_n by constructing infinite dimensional cell complex on which H_n acts with certain conditions. We modify his idea to construct n-dimensional CAT(0) cubical complex X_n on which H_n acts with the same conditions as before. Brown also shows H_n is finitely presented provided n>2. Johnson provides a finite presentation for H_3. We extend his result to provide finite presentations of H_n for n>3. We also establish exponential isoperimetric inequalities of H_n for n>2.

研究の動機と目的

• Houghton群 $\mathcal{H}_n$ が $n$ 次元の CAT(0) 連結立方複体 $X_n$ 上に適切で等長的かつ高さを保つ作用をもつことの構成。
• Brown の $F_{n-1}$ 型細胞複体構成を非正曲率の立方体的設定に一般化し、$\mathcal{H}_n$ の幾何学的解析を可能にする。
• $n > 3$ のとき $\mathcal{H}_n$ の有限提示を提供し、Johnson の $\mathcal{H}_3$ に対する結果を拡張する。
• $n \geq 3$ のとき $\mathcal{H}_n$ に対して指数的等周不等式を確立し、群内でのループの埋め込みの複雑さを定量化する。

提案手法

• 群 $\mathcal{H}_n$ が適切かつ等長的に作用し、高さを保つ $n$ 次元の CAT(0) 連結立方複体 $X_n$ を構成する。
• Sageev の立方体群作用理論を用いて、$\mathcal{H}_n$ を $X_n$ 上に本質的に作用する多末端群として実現し、すべての $\mathcal{H}_{n-1}$ 部分群を同時に符号化する。
• 群元を置換に翻訳する標準的同型 $\chi^*:\Sigma_{n,x} \to S_{nx}$ を適用し、対称群内での長さと面積の上限を可能にする。
• 群 $\mathcal{H}_n$ 内の語列 $u_k$ と $v_k$ に対する同時帰納法を用いて、交換関係およびブレード関係の面積を抑え、指数的面積上限を導出する。
• 共役変換技術を用いて、$\Sigma_{n,x}$ の関係式を $\mathcal{H}_n$ 内の語として表現し、各関係式が $\mathcal{H}_n$ 内で高々 $O(e^x)$ 個の関係式で表せることを示す。
• $\Sigma_{n,x}$ からの語長および面積の上限を適用し、長さ $\leq x$ のゼロホモトープな語に対して、$\mathcal{H}_n$ 内で高々 $O(x^5)$ の上限を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Houghton群 $\mathcal{H}_n$ は、幾何学的および有限性の性質を保つ非正曲率の立方体的複体上に作用させることができるか？
• RQ2 $n \geq 3$ のとき $\mathcal{H}_n$ の正確な等周的挙動は何か？ そして指数的等周不等式を満たすか？
• RQ3 $n > 3$ のとき $\mathcal{H}_n$ の有限提示をどのように構成できるか？ これは Johnson の $\mathcal{H}_3$ に対する結果を拡張するものである。
• RQ4 $\mathcal{H}_n$ 内のゼロホモトープな語の語長と面積の関係は何か？ そしてこれを一様に上限づけることができるか？

主な発見

• $\mathcal{H}_n$ は、$n$ 次元の CAT(0) 連結立方複体 $X_n$ 上に適切で等長的かつ高さを保つ作用をもつ。Sageev の定理により、これは $\mathcal{H}_n$ が多末端群であることを確認する。
• $n \geq 3$ のとき、$\mathcal{H}_n$ は指数的等周不等式を満たし、長さ $x$ のゼロホモトープな語の埋め込み面積は $O(e^x)$ で抑えられる。
• 長さ $\leq x$ の任意のゼロホモトープな語 $w \in \mathcal{H}_n$ は、$\Sigma_{n,x}$ 内の長さ $O(x^5)$ 以下の語に書き直せる。これは語の複雑さに対する定量的上限を提供する。
• 元の語 $w$ とその書き直し $w'$ の間の面積は $O(x^2)$ で抑えられる。これは、書き直しにおける幾何的歪みが多項式的であることを示す。
• $n > 3$ のとき $\mathcal{H}_n$ の有限提示を構成し、$\mathcal{H}_3$ に対する Johnson の有限提示を体系的な共役と関係式の翻訳により拡張する。
• $\Sigma_{n,x}$ の関係式は $\mathcal{H}_n$ 内で高々 $O(e^x)$ 個の関係式で表せ、この指数的上限は、語列 $u_k$ と $v_k$ の面積成長によって、鋭いことが示されている。