[論文レビュー] Geometry of isoparametric hypersurfaces in Riemannian manifolds

Jianquan Ge, Zizhou Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正のリッチ曲率をもつ閉リーマン多様体における最小化等パラメトリック超曲面の一意性を確立し、王 Q.M. の定理 D の完全な証明を提示する。すなわち、等パラメトリック関数の焦点部分多様体が最小であることを示す。さらに、等パラメトリック超曲面の主曲率が一定であるとき、その焦点部分多様体がすべての法方向で一定の主曲率を持つことを示し、それらがオーステア部分多様体であることを示す。また、リッチ曲率とスカラー曲率を含む曲率制約を導出する。

ABSTRACT

In a previous work, we studied isoparametric functions on Riemannian manifolds, especially on exotic spheres. One result there says that, in the family of isoparametric hypersurfaces of a closed Riemannian manifold, there exist at least one minimal isoparametric hypersurface. In this note, we show such minimal isoparametric hypersurface is also unique in the family if the ambient manifold has positive Ricci curvature. Moreover, we give a proof of the Theorem D claimed by Q.M.Wang (without proof) which asserts that the focal submanifolds of an isoparametric function on a complete Riemannian manifold are minimal. Further, we study isoparametric hypersurfaces with constant principal curvatures in general Riemannian manifolds. It turns out that in this case the focal submanifolds have the same properties as those in standard sphere, i.e., the shape operator with respect to any normal direction has common constant principal curvatures. Some necessary conditions involving Ricci curvature and scalar curvature are also derived.

研究の動機と目的

• 正のリッチ曲率をもつ閉リーマン多様体における最小化等パラメトリック超曲面の一意性の証明。
• Q.M. 王による定理 D の完全な証明の提示。この定理は、等パラメトリック関数の焦点部分多様体が最小であると述べるものである。
• 一般のリーマン多様体における一定の主曲率をもつ等パラメトリック超曲面の幾何的性質の調査。
• このような等パラメトリック関数が存在するための必要十分な曲率条件（特にリッチ曲率とスカラー曲率を含む）の導出。
• 空間形式における等パラメトリック超曲面の古典的結果を、任意のリーマン多様体へ一般化すること。

提案手法

• 焦点部分多様体からの法測地線に沿う形状作用素の変化を解析するためにリッカチ方程式を用いる。
• 距離 $ t $ におけるレベル超曲面 $ M_t $ の形状作用素 $ S(t) $ を、焦点部分多様体からの距離 $ t $ のべき級数として表現する。
• 補題 2.2 を適用して、$ M_t $ の主曲率を焦点部分多様体における形状作用素の固有値に関連付ける。
• ガウス方程式およびリッカチ方程式を用いて、焦点部分多様体上での截曲率およびリッチ曲率を含む曲率恒等式を導出する。
• 主曲率の $ t \to 0^+ $ における漸近的挙動を解析し、焦点部分多様体上での形状作用素の固有値が法方向に依存せず一定であることを示す。
• 曲率恒等式に対してトレース操作を施し、スカラー曲率とリッチ曲率の関係を導出することで、必要となる曲率条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のリッチ曲率をもつ閉リーマン多様体において、最小化等パラメトリック超曲面は一意的か？
• RQ2 完全なリーマン多様体上での等パラメトリック関数の焦点部分多様体は、常に最小部分多様体か？
• RQ3 一定の主曲率をもつ等パラメトリック超曲面では、その焦点部分多様体がすべての法方向で一定の主曲率を持つのか？
• RQ4 一定の主曲率をもつ等パラメトリック関数が存在するための、特にリッチ曲率とスカラー曲率に関する曲率制約は何か？
• RQ5 等パラメトリック超曲面の性質を用いて、一般のリーマン多様体における部分多様体の法ホロノミー理論を拡張できるか？

主な発見

• 正のリッチ曲率をもつ閉リーマン多様体における最小化等パラメトリック超曲面は、その族内では一意的である。
• 完全なリーマン多様体上での等パラメトリック関数の焦点部分多様体 $ M_{\pm} $ は最小部分多様体であり、Q.M. 王の定理 D を確認する。
• 等パラメトリック超曲面 $ M_t $ が一定の主曲率をもつとき、その焦点部分多様体 $ M_{\pm} $ はすべての法方向で一定の主曲率を持ち、それらはオーステア部分多様体である。
• 焦点部分多様体 $ M_{\pm} $ 上での形状作用素の固有値は一定であり、符号が逆のペアで現れる。これによりオーステア性が確認される。
• 曲率項を用いて定義される関数 $ \Gamma_P $ は、$ M_{\pm} $ の単位法バンドル上で定数であり、曲率恒等式 (10) は焦点部分多様体上で大域的に成立する。
• 環境多様体 $ N $ がアインシュタインであり、等パラメトリック関数が正則でない場合、非特異な焦点多様体は一定のスカラー曲率をもつ最小超曲面である。