[論文レビュー] Geometry of orbit closures for the representations associated to gradings of Lie algebras of types $E_6$, $F_4$ and $G_2$

Witold Kraśkiewicz, Jerzy Weyman|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$E_6$、$F_4$、$G_2$ 型のリー代数の次数付き構造に付随する単純代数的群の表現における軌道閉包を、Vinbergの手法と幾何的表現論を用いて分類する。退化順序を計算し、正規性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性、有理的特異点の性質を特定し、等変 $K$-理論とシジージ計算を用いて、軌道閉包の明示的自由分解と定義イデアルを提供する。主な結果は Macaulay2 や計算ツールを用いて検証されている。

ABSTRACT

In this paper we investigate the orbit closures for the class of representations of simple algebraic groups associated to various gradings on a simple Lie algebras of type $E_6$, $F_4$ and $G_2$. The methods for classifying the orbits for these actions were developed by Vinberg. We give the orbit descriptions, the degeneration partial orders, and decide the normality of the orbit closures. We also investigate the rational singularities, Cohen-Macaulay and Gorenstein properties for the orbit closures. We give the generators of the defining ideals of orbit closures.

研究の動機と目的

• $G_2$、$F_4$、$E_6$ のリー代数の次数付き構造に由来する表現における軌道閉包を分類すること。
• 軌道閉包上の退化部分順序を特定し、その幾何的・代数的性質を分析すること。
• 軌道閉包の定義イデアルを計算し、その正規性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性、有理的特異点の性質を特定すること。
• 表現空間の対称代数上のモジュールとして、軌道閉包の座標環の明示的最小自由分解を構成すること。
• 重み系およびルート系のためのカスタムプログラムを含む、Macaulay2 やその他の計算ツールを用いて結果を検証すること。

提案手法

• 文献[V87]におけるVinbergの手法を適用し、軌道を $\mathfrak{g}_1$ におけるノンアーベル軌道の交叉の既約成分として記述する。
• 文献[W03]の幾何的手法を用い、$G_0/P$ 上の同調的ベクトル束の全空間として、軌道閉包のdesingularizationを構成する。
• バンドルの外冪および Koszul複体の等変オイラー特性を計算し、等変 $K$-理論における公式を導出する。
• 著者らが開発したルートおよび重み計算プログラムを用い、各表現におけるパラボリック部分群の部分モジュールを体系的に探索する。
• 正規化および cokernel モジュール $C_j = \mathbb{C}[N(\overline{\mathcal{O}}_j)] / \mathbb{C}[\overline{\mathcal{O}}_j]$ を用いて、正規でない軌道閉包の Hilbert 級数および Betti 表を強制的に計算する。
• オイラー特性および不変量の計算に、Macaulay2 や [R10] などの計算パッケージを用いて結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの軌道閉包が $E_6$、$F_4$、$G_2$ リー代数の次数付き構造に付随する $\theta$-群作用から生じるか。また、それらの幾何的・代数的不変量は何か。
• RQ2 これらの表現における軌道閉包の退化部分順序は何か。
• RQ3 軌道閉包が正規、Cohen-Macaulay、Gorenstein、または有理的特異点を持つのはどのような場合か。
• RQ4 軌道閉包の定義イデアルは何か。また、それらの表現空間の対称代数上の最小自由分解の項は何か。
• RQ5 正規でない軌道閉包の正規化 cokernel モジュール $C_j$ のシジージモジュールおよび Betti 表は、どのように振る舞うか。

主な発見

• $(G_2, \alpha_1)$ の $G_2$ の場合、軌道閉包 $\overline{\mathcal{O}}_1$ は次数 2 の不変量によって定義される余次元 1 の超曲面であり、その正規化は $0 \to (4,2) \otimes A[-2] \to (2,1) \otimes A[-1] \oplus (0,0) \otimes A[0]$ という分解を持つ。
• $(G_2, \alpha_2)$ の場合、軌道閉包 $\overline{\mathcal{O}}_1$ は余次元 2 の有理的正規曲線であり、Eagon-Northcott複体によって与えられる分解 $0 \to (5,4) \otimes A(-3) \to (4,2) \otimes A(-2) \to A$ を持つ。
• $G_2$ の $(G_2, \alpha_2)$ の場合、判別式が 0 となる3次形式の軌道閉包 $\overline{\mathcal{O}}_2$ は正規でない。その正規化は $(4,2)$ および $(2,1)$ 表現を含む分解を持つ。
• 軌道閉包 $X_{\text{disc.}}$ が超曲面であるための必要十分条件は、環 $\operatorname{Sym}(\mathfrak{g}_1^*)^{(G,G)}$ に非定数不変量が存在することであり、その場合、その不変量 $\Delta$ の消滅によって定義される。
• 軌道閉包が球面的であるための必要十分条件は、補助代数 $\mathfrak{s}$ が $A_1$ 成分のみからなることであり、正規でない軌道閉包の正規化は、ある $i > 1$ に対して $\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_i$ に含まれる。
• 正規化された軌道閉包の Hilbert 級数の分母は $(1-t)^{\text{codim}}$ であり、分子は各ケースについて明示的に計算されており、cokernel モジュール $C_j$ の完全な Betti 表が提供されている。