[論文レビュー] Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces

M. I. Wanas, Nabil L. Youssef+1 more|ArXiv.org|Apr 16, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化ラグラング空間内における古典的AP幾何の一般化として、位置（x）と方向（y）の両方に依存する幾何的対象を有する一般化絶対並進（GAP）幾何を導入する。4つのd接続（標準的、双対的、対称的、リーマン的）を定義し、標準的d接続のねじれを用いて9つの非消滅曲率テンソルを導出し、すべてのWテンソルおよびその縮約を計算することで、古典的AP幾何を超える新しい幾何的構造の物理的解釈を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we deal with a generalization of the geometry of parallelizable manifolds, or the absolute parallelism (AP-) geometry, in the context of generalized Lagrange spaces. All geometric objects defined in this geometry are not only functions of the positional argument $x$, but also depend on the directional argument $y$. In other words, instead of dealing with geometric objects defined on the manifold $M$, as in the case of classical AP-geometry, we are dealing with geometric objects in the pullback bundle $π^{-1}(TM)$ (the pullback of the tangent bundle $TM$ by $ π: T M\longrightarrow M$). Many new geometric objects, which have no counterpart in the classical AP-geometry, emerge in this more general context. We refer to such a geometry as generalized AP-geometry (GAP-geometry). In analogy to AP-geometry, we define a $d$-connection in $π^{-1}(TM)$ having remarkable properties, which we call the canonical $d$-connection, in terms of the unique torsion-free Riemannian $d$-connection. In addition to these two $d$-connections, two more $d$-connections are defined, the dual and the symmetric $d$-connections. Our space, therefore, admits twelve curvature tensors (corresponding to the four defined $d$-connections), three of which vanish identically. Simple formulae for the nine non-vanishing curvatures tensors are obtained, in terms of the torsion tensors of the canonical $d$-connection. The different $W$-tensors admitted by the space are also calculated. All contractions of the $h$- and $v$-curvature tensors and the $W$-tensors are derived. Second rank symmetric and skew-symmetric tensors, which prove useful in physical applications, are singled out.

研究の動機と目的

• 一般化ラグラング空間を用いて、方向依存性を組み込むことにより、古典的AP幾何をより広範な幾何的枠組みへと拡張すること。
• 古典的AP幾何に類似物のない、引き戻しバンドル π⁻¹(TM) 内に新たな幾何的対象を定義し、それらを研究すること。
• この一般化された設定において、4つの異なるd接続（標準的、双対的、対称的、リーマン的）の曲率テンソルを導出し、それらを分析すること。
• GAP幾何に現れる新しい幾何的量、特に垂直成分および方向成分の物理的解釈の基盤を提供すること。
• トレースおよび縮約恒等式を用いて、物理的テンソルを体系的に比較・選択するためのフレームワークを確立すること。

提案手法

• 幾何的対象を位置xと方向yの両関数として扱うため、引き戻しバンドル π⁻¹(TM) 内で形式的枠組みを構築する。
• 引き戻しバンドル上の水平および垂直分布を定義するため、非線形接続 Nᵅᵤ を導入する。
• πベクトル場 λᵢ が定める並進に基づく、ねじれのないリーマン的d接続として、標準的d接続 D を定義する。
• 双対的および対称的d接続は、古典的AP幾何と同様の方法で構成され、4つのd接続のセットが完成する。
• 各d接続の曲率テンソルは、標準的d接続のねじれテンソルを用いて計算され、9つの非消滅曲率成分の明示的公式が導出される。
• すべてのWテンソルおよびその縮約（スカラー跡を含む）が体系的に計算され、基本的な対称および反対称第二階テンソルを用いて表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ラグラング空間の文脈において、古典的AP幾何を方向依存性を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 引き戻しバンドル π⁻¹(TM) 内に、古典的AP幾何に存在しない新たな幾何的対象は何か？
• RQ3 4つの異なるd接続（標準的、双対的、対称的、リーマン的）の曲率テンソルは、標準的d接続のねじれとどのように関係しているか？
• RQ4 この一般化された枠組みにおいて、Wテンソルの完全な集合およびその縮約は何か？それらは基本的幾何的テンソルとどのように関係するか？
• RQ5 どの第二階テンソルおよびスカラーテンソルが物理的応用に最も適しているか？それらはどのように体系的に特定され、比較されるか？

主な発見

• 9つの非消滅曲率テンソルが導出され、すべてが標準的d接続のねじれテンソルを明示的に用いて表現されている。
• 12個の曲率テンソルのうち、標準的、双対的、対称的d接続に対応する3つが恒等的に消えるため、9つの非消滅成分が残る。
• h-およびv-曲率テンソルのすべての縮約が計算され、第5節で定義された基本的対称および反対称第二階テンソルを用いて表現されている。
• 4つのd接続すべてのWテンソルが導出され、そのスカラー跡および縮約が表6(a)および6(b)に体系的に整理されている。
• スカラーWテンソル（h-スカラーおよびv-スカラー）は、θ、ω、σ、ψなどの基本的テンソルのトレースの組み合わせとして表現されている。
• この枠組みにより、幾何的対象の体系的比較が可能となり、すべての第二階およびスカラーテンソルが基本的テンソルを用いて表現されることで、物理的に意味のある量の選択を支援する。