[論文レビュー] Geometry of pentagons: from Gauss to Robbins

Dragutin Svrtan, Darko Veljan+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 2004

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、3つの連続する頂点によって形成される頂点三角形の面積のみを用いて凸五角形の面積を計算する、あまり知られていないガウスの五角形面積公式を提示し、それを証明する。ガウスの公式、モンジュの公式、およびブレーマグプタの定理の間の同等性を示し、結果論を用いて円に内接する五角形の面積について新たな有理式を導出することで、五角形幾何学の完全な代数的枠組みを確立し、ヘロンやブラーマグプタの古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

An almost forgotten gem of Gauss tells us how to compute the area of a pentagon by just going around it and measuring areas of each vertex triangles (i.e. triangles whose vertices are three consecutive vertices of the pentagon). We give several proofs and extensions of this beautiful formula to hexagon etc. and consider special cases of affine--regular polygons. The Gauss pentagon formula is, in fact, equivalent to the Monge formula which is equivalent to the Ptolemy formula. On the other hand, we give a new proof of the Robbins formula for the area of a cyclic pentagon in terms of the side lengths, and this is a consequence of the Ptolemy formula. The main tool is simple: just eliminate from algebraic equations, via resultants. By combining Gauss and Robbins formulas we get an explicit rational expression for the area of any cyclic pentagon. So, after centuries of geometry of triangles and quadrilaterals, we arrive to the nontrivial geometry of pentagons.

研究の動機と目的

• 凸五角形の面積を三角形分割なしに、その頂点三角形の面積のみを用いて計算するガウスのほとんど忘れられた公式を提示し、それを証明すること。
• 円に内接する四角形におけるガウスの五角形公式、モンジュの公式、およびブレーマグプタの定理の同等性を確立すること。
• 代数的消去法を用いてブレーマグプタの恒等式から出発し、円に内接する五角形の面積に関する新たな明示的有理式を導出することにより、古典的面積公式の系列を拡張すること。
• ガウスの公式とロビンズの公式を統合し、多角形幾何学における結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 座標幾何学と記号計算を用いて、モンジュの公式を通じてガウスの五角形公式を証明する。
• 正弦関数を用いた三角関数的恒等式を適用し、モンジュの公式が代数的恒等式として成立することを検証する。
• 結果論を用いて代数方程式系から変数を消去し、円に内接する五角形のロビンズの公式を導出する。
• ガウスの公式がモンジュの公式と同等であり、三角関数的恒等式を介してブレーマグプタの定理とも同等であることを示す。
• 頂点三角形の面積の初等対称和 $ c_1 $ および $ c_2 $ を用いて、五角形の面積を二次方程式 $ A^2 - c_1A + c_2 = 0 $ として表現する。
• 三角関数的および代数的変形を用いて、ガウス、モンジュ、およびブレーマグプタの公式の同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形分割を用いずに、五角形の頂点三角形の面積のみを用いて、凸五角形の面積をどのように計算できるか？
• RQ2 ガウスの五角形公式、モンジュの公式、および円に内接する四角形におけるブレーマグプタの定理との間の代数的関係は何か？
• RQ3 代数的消去法を用いて、ブレーマグプタの恒等式から円に内接する五角形の面積に関する有理式を導出できるか？
• RQ4 五角形がアフィン正則となる条件は何か？また、これは頂点三角形の面積が等しいことにどのように関連するか？
• RQ5 円に内接する五角形の面積の明示的表現は、辺の長さを用いてどのように表され、ヘロンの公式およびブラーマグプタの公式をどのように一般化するか？

主な発見

• ガウスの五角形公式によれば、凸五角形の面積 $ A $ は、その5つの頂点三角形の面積の初等対称和 $ c_1 $ と $ c_2 $ を用いて $ A^2 - c_1A + c_2 = 0 $ を満たす。
• この公式は、モンジュの公式 $ (012)(034) + (014)(023) = (013)(024) $ と同等であり、それ自体が円に内接する四角形におけるブレーマグプタの定理と同等である。
• 一辺の長さが $ a $ の正五角形の場合、面積は $ \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1.72a^2 $ であり、既知の値と整合的である。
• アフィン正則五角形は、すべての頂点三角形の面積が等しいことによって特徴づけられ、その面積は $ A = \sqrt{5}\varphi k \approx 3.62k $ で与えられる。ここで $ k $ は各頂点三角形の共通の面積である。
• ガウスの公式とロビンズの公式を組み合わせることで、結果論を用いて任意の円に内接する五角形の面積に関する明示的有理式が導出される。
• 本稿では、ヘロン（1世紀）→ ブラーマグプタ（7世紀）→ ロビンズ（1995年）の古典的系列を拡張し、円に内接する五角形の面積計算の完全な代数的枠組みを確立した。