[論文レビュー] Geometry of plane curves via Tschirnhausen resolution tower

Norbert A’Campo, Mutsuo Oka|Osaka City University (Osaka City University)|Aug 16, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Tschirnhausen多項式を用いて、非可約平面曲線特異点のトーリック解消塔を導入し、滑らかなアフィン平面曲線の無限遠における特異点の位相的分類を可能にする。本研究は、アーブヤンカール＝モハ＝スズキの定理を genus 1 および 2 の曲線へ拡張し、無限遠における特異点の同相的型を位相的不変量によって特徴付ける。

ABSTRACT

We show the existence of toric resolution tower for an irreducible curve singularity which is explicitly described by Tschirnhausen polynomials. We deduce for a smooth affine plane curve from its topology restrictions for its singularity at infinity. For instance, we discribe the singularities at infinity (up to equisingular deformation) for curves of genus 0,1 and 2. From this follows an extension of the Abhyankar-Moh-Suzuki theorem to genus 1 and 2.

研究の動機と目的

• Tschirnhausen多項式を用いた幾何的枠組みを構築し、平面曲線の特異点を分析すること。
• 滑らかなアフィン平面曲線の無限遠における特異点の位相を特徴付けること。
• 曲線の genus 1 および 2 に対して、アーブヤンカール＝モハ＝スズキの定理を拡張し、無限遠における特異点の同相的型を分類すること。
• 曲線のグローバルな位相と、その無限遠における特異点の同相的変形型との間の関係を確立すること。

提案手法

• Tschirnhausen多項式を用いて、非可約曲線特異点のトーリック解消塔を構築すること。
• 曲線の位相型を用いて、その無限遠における特異点の同相的変形型に及ぼす制約を導出すること。
• 代数幾何学的技法を用いて、特に無限遠における特異点を射影平面で分析すること。
• 解消塔の理論を用いて、特異点の局所的不変量とグローバルな位相的データとの関係を確立すること。
• 曲線の genus を、無限遠における特異点型の分類の鍵となる不変量として用いること。
• 同相的変形の理論を用いて、特異点を位相的同値性の観点から分類すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなアフィン平面曲線が genus 0, 1, 2 の場合に、無限遠における同相的変形型として現れる特異点の型はどのようなものか？
• RQ2 滑らかなアフィン平面曲線の位相が、その無限遠における特異点の構造をどのように制約するか？
• RQ3 Tschirnhausen解消塔を用いて、無限遠における特異点の解消を明示的に記述できるか？
• RQ4 曲線の位相的不変量が、無限遠における特異点の同相的型をどの程度まで決定するか？
• RQ5 アーブヤンカール＝モハ＝スズキの定理は、genus 1 および 2 の曲線へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、genus 0, 1, 2 の滑らかなアフィン平面曲線に対して、その無限遠における特異点が、曲線の位相によって同相的変形型まで完全に決定されることを確立した。
• Tschirnhausen多項式を用いて、非可約曲線特異点のトーリック解消塔を明示的に構成した。
• genus 0, 1, 2 の曲線に対して、無限遠における同相的変形型が完全に分類された。
• アーブヤンカール＝モハ＝スズキの定理が、genus 1 および 2 の曲線へ拡張され、そのような曲線が多項式パラメトライゼーションを持つための必要十分条件が、無限遠における特異点が有理曲線の特異点と同相的型であることに帰着されることを示した。
• 本手法により、アフィン曲線のグローバルな genus および位相から、無限遠における特異点の位相型を体系的に導出する方法が得られた。
• 解消塔の構成により、Tschirnhausen変換を用いた、無限遠における特異点の解消プロセスの明示的でアルゴリズム的な記述が可能になった。