[論文レビュー] Geometry of syzygies via Poncelet varieties

Giovanna Ilardi, Paola Supino+1 more|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Mathematics and Applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ロッホの定理とポンセレ多様体を用いて、$\mathbb{P}^1$ 上の線型系の幾何を研究し、$r$ 個の独立なシジージーをもつ次数 $d$ の線型系の系列 $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ の余次元を $ (dk + k - n + r)r $ として計算し、線型シジージーが関連するポンセレ多様体に特異点を引き起こすことを証明することで、シジージー代数と有理曲線の射影幾何の深い関係を確立する。

ABSTRACT

We consider the Grassmannian $\mathbb{G}r(k,n)$ of $(k+1)$-dimensional linear subspaces of $V_n=H^0({¶^1},Ø_{¶^1}(n))$. We define $\frak{X}_{k,r,d}$ as the classifying space of the $k$-dimensional linear systems of degree $n$ on $¶^1$ whose basis realize a fixed number of polynomial relations of fixed degree, say a fixed number of syzygies of a certain degree. The first result of this paper is the computation of the dimension of $\frak{X}_{k,r,d}$. In the second part we make a link between $\frak{X}_{k,r,d}$ and the Poncelet varieties. In particular, we prove that the existence of linear syzygies implies the existence of singularities on the Poncelet varieties.

研究の動機と目的

• 次数 $n$ で次元 $k$ の $\mathbb{P}^1$ 上の線型系で、少なくとも $r$ 個の次数 $d$ の独立なシジージーをもつもののパラメータ空間 $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ の次元を計算すること。
• このような線型系に関連するポンセレ多様体上の特異点と線型シジージーの存在との幾何的関係を確立すること。
• 従来 $k=1$ の場合にのみ知られていたシジージー系列の結果を、一般の $k$ に対してグレイスマン多様体 $\mathbb{G}r(k,n)$ 上の行列式的多様体技法を用いて拡張すること。
• ポンセレ多様体の観点から、シジージー系列 $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ の幾何的解釈を提供すること。ポンセレ多様体はトロウマンによって導入されたが、曲線を除いてはほとんど研究されていなかった。

提案手法

• 著者たちは、$\mathfrak{X}_{k,r,d}$ をグレイスマン多様体 $\mathbb{G}r(k,n)$ の部分多様体として定義し、次数 $d$ の $r$ 個の独立なシジージーをもつ線型系をパラメータ化する。
• 完全系列 $0 \to E_\Lambda \to \Lambda \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(n) \to 0$ を用いて、シジージーを $E_\Lambda(d)$ の正則切断に関連させ、$h^0(E_\Lambda(d)) = r$ が $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ を特徴付ける。
• 行列式的多様体理論を用いて、$\mathfrak{X}_{k,r,d}$ の次元を計算し、グレイスマン多様体 $\mathbb{G}r(k,n)$ 上の普遍部分バンドル $\mathcal{U}$ と $V_n \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{G}r(k,n)}$ への評価写像を用いる。
• 線型系 $\Lambda$ が基点をもつ場合のモルフィズム $\Lambda$ の $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(n-d)$ への因数分解を分析することで、ポンセレ多様体への関係を確立する。これにより、ポンセレ多様体に支持を持つ層を含む可換図式が得られる。
• 線型シジージーから生じるポンセレ多様体の特異点を、包絡線型超平面と基点を用いた因数分解を構成し、得られた層の台を分析することで示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線型系に $r$ 個のシジージー（次数 $d$）をもつ場合、$\mathfrak{X}_{k,r,d}$ のグレイスマン多様体 $\mathbb{G}r(k,n)$ 内での余次元は何か？
• RQ2 線型シジージー（$d=1$）は、関連するポンセレ多様体の幾何にどのように影響を与えるか？
• RQ3 線型系が線型シジージーをもつとき、その関連するポンセレ多様体は特異的になり得るか？
• RQ4 線型系が基点をもつ場合、ポンセレ多様体の構造はどのようなものであり、シジージー構造とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ の $\mathbb{G}r(k,n)$ 内での余次元は正確に $ (dk + k - n + r)r $ であり、これは $k=1$ の場合に既知の結果を一般化する。
• $\mathfrak{X}_{k,r,d}$ はコーエン・マカウレー的であり、その特異点集合は $\mathfrak{X}_{k+1,r,d}$ に一致する。これは、シジージー数に基づく階層的構造を示している。
• 線型シジージー（$d=1$）は、関連するポンセレ多様体が特異的であることを意味し、特異点は $\binom{n-1}{k}$ 条の直線の頂点に現れる。
• 一般の $\mathfrak{X}_{k,1,1}$ 要素に対して、ポンセレ多様体は $\binom{n-1}{k}$ 条の直線を含み、$\binom{n-1}{k+1}$ 個の特異点を持つ。これは、$k+1$ 本の直線の組の交点に対応する。
• 線型シジージーをもつ線型系に関連するポンセレ多様体は、非連結的であり、シジージーの固定基点に対応する双対な直線配置を含み、それらの共通交点に特異点が生じる。