[논문 리뷰] Geometry on Lie algebroids I: compatible geometric structures on the base

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리 대수다발 또는 카르탕-리 대수다발의 기저 다양체 $M$ 위의 호환 가능한 기하적 구조를 조사하며, 리만 기하학적 호환성이 유도된 분할이 리만 분할임을 보이고, 리만 부분사상에 의해 리iman 기하학적 구조가 리만 기하학적 구조를 갖는 리만 기하학적 구조를 유도할 수 있음을 보여준다. 심플렉틱 또는 일반화된 리만 기하학적 구조의 경우, 축소된 기하학적 구조는 다를 수 있으며, 예를 들어 편의성 있는 파울리 맨포드의 심플렉틱 실현을 유도할 수 있다. 본 연구는 임의의 리 대수다발이 적절한 리 군단위로 통합될 경우 기저에 호환 가능한 리만 기하학적 구조를 갖는다고 증명하며, 자유 리 대수다발에 대해 임의의 기저 다발 연결에서 유도된 고유한 카르탕 접속을 수립한다.

ABSTRACT

The object of our study is a Lie algebroid $A$ or a Cartan-Lie algebroid $(A, abla)$ (a Lie algebroid with a compatible connection) over a base manifold $M$ equipped with appropriately compatible geometrical structures. The main focus is on a Riemannian base $(M,g)$, but we also consider symplectic and generalized Riemannian structures. For the Riemannian case, we show that the compatibility implies that the foliation induced by the Lie algebroid is a Riemannian foliation; thus, in particular, if the leaf space $Q = M/\!\sim$ is smooth, $Q$ permits a metric such that the quotient projection is a Riemannian submersion. For other structures on $M$ with a smooth leaf space $Q$, the reduced geometrical type on $Q$ can be different: for example, $(M,\omega)$ symplectic provides in general only a symplectic realization of a Poisson manifold $(Q,\mathcal{P})$. Building upon a result of del Hoyo and Fernandes, we prove that any Lie algebroid integrating to a proper Lie groupoid admits a compatible Riemannian base. We also show that, given an arbitrary connection on an anchored bundle, there is a unique Cartan connection on the corresponding free Lie algebroid.

연구 동기 및 목표

• 리 대수다발 또는 카르탕-리 대수다발의 기저 다양체 $M$ 위의 기하적 구조—리만, 심플렉틱, 일반화된 리만—간의 호환성을 조사한다.
• 이러한 호환성 조건이 유도된 분할과 몫 공간 $Q = M/\sim$의 구조에 미치는 영향을 규명한다.
• 몰입 공간 $Q$가 리만 기하학적 구조나 파울리 맨포드 기하학적 구조와 같은 잘 정의된 기하학적 구조를 상속할 수 있는 조건을 수립한다.
• 임의의 리 대수다발이 적절한 리 군단위로 통합될 경우 기저에 호환 가능한 리만 기하학적 구조를 갖는다는 것을 증명한다.
• 자유 리 대수다발에 대해 임의의 기저 다발 연결에서 유도된 카르탕 접속의 존재성과 유일성을 보여준다.

제안 방법

• 리 대수다발과 카르탕-리 대수다발의 프레임워크를 활용하며, 리 대수다발의 구조와 호환되는 접속에 초점을 맞춘다.
• 델 호요와 페르난데스의 적절한 리 군단위 통합 결과를 적용하여 기저에 대한 호환 가능한 리만 기하학적 구조의 존재를 도출한다.
• 앵커 사상에 의해 유도된 $M$ 위의 분할을 분석하고, 호환성 조건 하에서 그 기하학적 성질을 연구한다.
• 기저 다발에 대한 임의의 연결에서 유도된 자유 리 대수다발 위에 고유한 카르탕 접속을 구성한다.
• 특히 리만 및 심플렉틱 경우에 대해 몰입 공간 $Q$로의 기하학적 구조의 축소를 분석하기 위해 미분기하학적 기법을 활용한다.
• 리만 부분사상 및 파울리 맨포드 실현 이론을 활용하여 $M$의 기하학적 구조와 $Q$의 기하학적 구조 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수다발의 기저 다양체 $M$ 위에 리만 기하학적 구조가 존재할 경우, 이는 $M$ 위의 분할이 리만 분할이 되도록 하는가?
• RQ2 특히 리만 및 심플렉틱 경우에 대해, 몰입 공간 $Q = M/\sim$의 기하학적 구조는 원래 $M$ 위의 기하학적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 모든 리 대수다발이 적절한 리 군단위로 통합될 경우, 기저에 호환 가능한 리만 기하학적 구조를 갖출 수 있는가?
• RQ4 기저 다발의 연결과 그에 대응하는 자유 리 대수다발 위의 유도된 카르탕 접속 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 심플렉틱 기저 $(M,\omega)$의 경우, 몰입 공간 $Q$는 어떤 종류의 기하학적 구조를 상속하는가?

주요 결과

• 리 대수다발의 기하학적 구조와 호환되는 리만 기하학적 구조 $g$는 $M$ 위의 유도된 분할이 리만 분할임을 의미한다.
• 몰입 공간 $Q = M/\sim$가 매끄럽다면, 몰입 사상 $M \to Q$가 리만 부분사상이 되도록 리만 기하학적 구조를 상속한다.
• 심플렉틱 기저 $(M,\omega)$의 경우, 몰입 공간 $Q$는 일반적으로 파울리 맨포드 기하학적 구조만을 지니며, $(M,\omega)$는 $(Q,\mathcal{P})$의 심플렉틱 실현이 된다.
• 임의의 리 대수다발이 적절한 리 군단위로 통합될 경우, 기저에 호환 가능한 리만 기하학적 구조를 갖는다.
• 기저 다발에 대한 임의의 연결이 주어지면, 그에 대응하는 자유 리 대수다발 위에 고유한 카르탕 접속이 존재한다.
• 카르탕 접속의 구성은 표준적이며, 기저 다발의 초기 연결에 의해 완전히 결정된다.