[論文レビュー] Gerbes on quantum groups

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|Aug 25, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子群上のループ群バンドルにおけるq-変形された移行関数を用いて、量子群上に量子gerbeを構成する手法を提案する。これは、射影的ユニタリ表現による古典的gerbe構造の一般化である。$SU_q(2)$に対しては、$q$-変形代数の元を成分とする行列$x$を用いて量子gerbeを定義し、$K^1(SU_q(2))$におけるK理論的類を生成する。この類は$ℤ$に同型であり、サイクリック3コホモロジーのペアリングによりDixmier-Douady不変量が計算される。

ABSTRACT

We discuss an approach to quantum gerbes over quantum groups in terms of q-deformation of transition functions for a loop group bundle. The case of the quantum group SUq(2) is treated in some detail.

研究の動機と目的

• 古典的gerbe構造の変形を用いて、量子群上に量子gerbeの概念を定義すること。
• q-変形された行列成分を用いて、ループ群バンドル構成を量子設定に一般化すること。
• $SU_q(n)$、特に$SU_q(2)$に対して、量子gerbeとK理論的不変量の関係を確立すること。
• 非可換設定におけるde Rham形式の代わりに、サイクリックコhomologyを用いて量子Dixmier-Douady不変量を計算すること。

提案手法

• 量子群$SU_q(n)$の成分をもつ行列のループ群において、局所的移行関数を用いて量子gerbeを構成し、特異性を扱うために代数的拡張を用いる。
• 拡張代数$SU_q(n)_\lambda$において、$\psi_t(g,\lambda) = -(1-t)\lambda + tg$というホモトピーを定義し、$-\lambda$から$g$へつなぐ。これにより逆元性が保証される。
• $SU_q(2)$に拡張された$f_q = \left[1 + \frac{1}{4q^2}(b - b^*)^2\right]^{1/2}$を用いて、$q$-変形行列$x$を定義し、$x^2 = 1$を満たす。
• 射影$P = \frac{1}{2}(1 + x)$を用いて、量子球面$S^2_q$上の量子ラインバンドルを定義し、$P^2 = P$を満たす。
• 関数計算とスピン角運動量に作用する$D = -i\frac{d}{dt}$型のディラック作用素を用い、$\psi(1) = g\psi(0)$を満たすことで、$K^1(SU_q(2))$におけるK理論的類を定義する。
• サイクリック3コホモロジー$ c_3 $と、ユニタリ行列$g$のK理論的類とのペアリングにより、量子Dixmier-Douady不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群上のgerbeの古典的概念を、q-変形を用いて量子群上の量子gerbeにどのように変形できるか。
• RQ2 $SU_q(2)$上の量子gerbeの移行関数の構造は何か。また、これは古典的ループ群バンドルをどのように一般化するか。
• RQ3 量子gerbeのK理論的類は$SU_q(2)$の位相的性質とどのように関係し、その不変量は何か。
• RQ4 Dixmier-Douady類は量子設定に一般化可能か。その場合、サイクリックコhomologyを用いてどのように計算されるか。
• RQ5 $SU_q(n)$の代数的拡張において、$f_q$のような要素が移行関数の定義と逆元性の保証に果たす役割は何か。

主な発見

• 量子gerbeは、$q$-変形代数の成分をもつ自己随伴的かつ冪等的行列$x$を用いて構成され、$x^2 = 1$を満たす。これにより、$P = \frac{1}{2}(1 + x)$という射影が定義される。
• 量子球面$S^2_q$上の量子ラインバンドルは射影$P = \frac{1}{2}(1 + x)$で与えられ、ランク1の射影子ではあるが、左乗法が非可換であるため、bimoduleを定義しない。
• $K^1(SU_q(2))$における量子gerbeのK理論的類は$ℤ$に同型であり、古典的状況と一致する。これは、量子群座標のユニタリ行列$g$に由来する自明な類である。
• Dixmier-Douady不変量は、サイクリック3コホモロジー$ c_3 $と$g$のK理論的類とのペアリングにより計算され、非可換設定におけるde Rham類の一般化である。
• $SU_q(n)$に対しては、拡張代数$SU_q(n)_\lambda$においてホモトピー$\psi_t(g,\lambda) = -(1-t)\lambda + tg$を用い、逆元性を保証することで、ループ群に類似した構造を構成できる。
• 一般化された構成では、$SU_q(n)_{\lambda\lambda'}$（$g - \lambda$と$g - \lambda'$が可逆である拡張）の成分をもつ移行関数$\phi_{\lambda\lambda'}(g)(t) = \psi_t(g,\lambda)\psi_t(g,\lambda')^{-1}$を定義する。