[論文レビュー] Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski structures on coisotropic intersections

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Jun 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかなパオアソン多様体 $X$ 内のコイソトロピック部分多様体 $Y, Z$ に対して、構造層および $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-変形 $\mathcal{A}$ 上のモジュールへの1次変形によって誘導される、Tor層 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上に標準的なバタリン＝ヴィルコビスキー（BV）代数構造を確立する。誘導されたゲルステンハーバー括弧は変形の選択に依存せず、パオアソン幾何と変形理論を通じてコイソトロピック交叉に標準的なBV構造を与える。

ABSTRACT

Let Y,Z be a pair of smooth coisotropic subvarieties in a smooth algebraic Poisson variety X. We show that any data of first order deformation of the structure sheaf O_X to a sheaf of noncommutative algebras and of the sheaves O_Y and O_Z to sheaves of right and left modules over the deformed algebra, respectively, gives rise to a Batalin-Vilkoviski algebra structure on the Tor-sheaf Tor^{O_X}_*(O_Y, O_Z). The induced Gerstenhaber bracket on the Tor-sheaf turns out to be canonically defined; it is independent of the choices of deformations involved. There are similar results for Ext-sheaves as well. Our construction is motivated by, and is closely related to, a result of Behrend-Fantechi, who considered the case of Lagrangian submanifolds in a symplectic manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかなパオアソン多様体 $X$ 内のコイソトロピック部分多様体 $Y, Z$ に対して、Tor層 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上に標準的なバタリン＝ヴィルコビスキー（BV）代数構造を構成すること。
• このTor層上の誘導されたゲルステンハーバー括弧が、$\mathcal{O}_Y$ および $\mathcal{O}_Z$ の1次変形の選択に依存しないことを示すこと。
• 自己交叉の場合に、Ext層への構成を拡張し、BV微分が正規バンドル上のパオアソン双ベクトル作用から生じることを示すこと。
• 自己交叉設定における余接バンドルの外積代数上のBV微分を用いて、パオアソンコホモロジーとホモロジーの幾何的実現を提供すること。

提案手法

• 構造層 $\mathcal{O}_X$ の平坦な $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-変形 $\mathcal{A}$ を用い、$\mathcal{A}$ 内の交換子が $\mathcal{O}_X$ 上の与えられたパオアソン括弧を誘導するようにする。
• $\mathcal{O}_Y$ および $\mathcal{O}_Z$ の整合性のある1次変形を右および左 $\mathcal{A}$-モジュールへと用いて、$\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上の2次微分作用素 $\delta$ を構成する。
• Lie括弧の公式 $[x,y] = \delta(xy) - \delta(x)y - (-1)^{\deg x}x\delta(y)$ を用いてBV微分 $\delta$ を定義し、$\delta^2 = 0$ かつ $\delta$ が2次以下であることを保証する。
• 局所的な変形の持ち上げの差がコホモロジーにおいてコバウンダリーであることを示すことにより、ゲルステンハーバー括弧の変形選択に対する独立性を確立する。
• 自己交叉の場合 $Y = Z$ に適用し、$\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 上のBV微分がパオアソン双ベクトルの作用によって与えられることを示す。
• Hochschildコチェーン上のLie括弧および $Y$ に消えるベクトル場の部分代数 $\mathcal{K} \subset \mathsf{\Lambda}^\bullet(T_X)$ を用いて、微分を大域的に定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化を用いて、パオアソン多様体内の2つのコイソトロピック部分多様体のTor層に標準的なBV代数構造を定義できるか？
• RQ2 構造層およびモジュール構造の1次変形の選択に依存しない、Tor層上の誘導されたゲルステンハーバー括弧は存在するか？
• RQ3 自己交叉の場合に、Ext層 $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y)$ 上のBV微分はパオアソン双ベクトルとどのように関係するか？
• RQ4 $Y = Z$ がコイソトロピックである場合に、余接バンドルの外積代数上にBV構造を大域的に定義できるか？
• RQ5 BV微分の幾何的解釈は、パオアソン幾何と正規バンドル上のLie代数作用の観点からどのように説明できるか？

主な発見

• 整合性のある1次変形が2次まで拡張可能である限り、$\mathcal{O}_Y$ および $\mathcal{O}_Z$ を $\mathcal{A}$-モジュールへと変形することによって、Tor層 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ は標準的なBV代数構造を誘導的に持つ。
• 誘導されたゲルステンハーバー括弧は変形の選択に依存しないため、コイソトロピック部分多様体およびパオアソン構造の標準的不変量となる。
• 自己交叉の場合 $Y = Z$ において、Ext層 $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 上のBV微分は、余接バンドル上のパオアソン双ベクトル作用によって与えられる。
• $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y)$ 上のBV微分 $\delta^\prime$ は大域的に適切に定義されており、HochschildコチェーンのLie括弧から生じ、$\delta^\prime(\gamma_B) = [\alpha_A \oplus \alpha_B, 0 \oplus \gamma_B]$ として表現される。
• 変形量子化およびパオアソン幾何を用いて、シンプレクティック多様体内のラグランジュ交叉に関するBehrend-Fantechiの結果をコイソトロピック設定に一般化する。
• BV微分 $\delta$ のホモロジーはパオアソンホモロジーに対応し、$\delta^\prime$ のコホモロジーはパオアソンコホモロジーに対応するため、この構成は古典的不変量と結びつく。