[論文レビュー] Gevrey regularity of the global attractor of the 3D Navier-Stokes-Voight equations

Varga Κ. Kalantarov, Boris Levant+1 more|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、解析的外力によって駆動される3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ方程式（NSV）のグローバルアトラクターが、実解析関数から состояることを証明しており、それによりフーリエスペクトルが指数的に減衰することを示している。ゲヴレ級の枠組みと重み付きソボレフ空間におけるエネルギー推定を用いて、系の双曲型的性質にもかかわらず、解が散逸領域を示すことを確立している。解析的半径の下界は、3次元ナビエ＝ストークス方程式と一致する。

ABSTRACT

Recently, the Navier-Stokes-Voight (NSV) model of viscoelastic incompressible fluid has been proposed as a regularization of the 3D Navier-Stokes equations for the purpose of direct numerical simulations. In this work we prove that the global attractor of the $D NSV equations, driven by an analytic forcing, consists of analytic functions. A consequence of this result is that the spectrum of the solutions of the 3D NSV system, lying on the global attractor, have exponentially decaying tail, despite the fact that the equations behave like a damped hyperbolic system, rather than the parabolic one. This result provides an additional evidence that the 3D NSV with the small regularization parameter enjoys similar statistical properties as the 3D Navier-Stokes equations. Finally, we calculate a lower bound for the exponential decaying scale -- the scale at which the spectrum of the solution start to decay exponentially, and establish a similar bound for the steady state solutions of the 3D NSV and 3D Navier-Stokes equations. Our estimate coincides with similar available lower bound for the smallest dissipation length scale of solutions of the 3D Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 解析的外力下での3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ（NSV）方程式のグローバルアトラクターの解析的性を確立すること。
• グローバルアトラクター上に存在する解が、系の減衰した双曲型的性質にもかかわらず、指数的に減衰するスペクトルを示す、すなわち散逸領域を示すことの証明。
• NSVおよびナビエ＝ストークス方程式の定常解の解析的半径の下界を導出すること。この下界は、アトラクター上の一般解に対して既知の下界と一致する。
• 小さな正則化パラメータ $ \alpha $ を持つNSVモデルが、3次元ナビエ＝ストークス方程式と類似した統計的性質を捉えていることをさらに裏付けること。

提案手法

• 著者らは、NSV系の解 $ u(x,t) $ に対する漸近近似 $ v(x,t) $ を構築し、$ t \to \infty $ のとき $ \|v(\cdot,t) - u(\cdot,t)\|_{L^2} \to 0 $ となるようにしている。
• 解 $ v $ を低周波数モードと高周波数モードに分解し、ゲヴレクラスに関連する重み付きソボレフノルムにおける正則性を分析している。
• 重み付き $ L^2 $ ノルム $ \|\cdot\|_{k,\tau} $ におけるエネルギー推定を導出しており、ここで $ \tau $ は解析的半径を制御している。
• 非線形項の推定には $ |(B(u,u), A^{1/2}u)_{0,\tau}| \leq c\lambda_1^{3/4}\|u\|_{1,\tau}^2\|u\|_{3/2,\tau} $ を、外力項の推定には $ |(f, A^{1/2}u)_{0,\tau}| \leq e^{2\sigma N_f^{1/2}}N_f^{1/2}\nu\|u\|^2 $ を用いている。
• 微分不等式 $ \dot{y} \leq (y + F)^2 $ を $ y(\tau) = \frac{c^2\lambda_1^{3/2}}{\nu^2}\|u\|_{1,\tau}^2 $ に対して導出し、その爆発時刻 $ \tau_B $ を用いて解析的半径の上限を求める。
• 下界 $ \tau_B \geq C \frac{\nu^2}{\lambda_1^{3/2}\|u\|^2} \geq L(\ell/L)^4 $ を用いて、定常解の解析的半径の下界を確立している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的外力が作用する3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ方程式のグローバルアトラクターは、解析的関数から состояるか？
• RQ2 減衰した双曲型的性質を示すNSV系でさえ、指数的に減衰するスペクトルを示す散逸領域を示すことができるか？
• RQ3 NSVおよびナビエ＝ストークス方程式の定常解の解析的半径の下界は何か？ これは、アトラクター上の一般解に対して既知の下界とどのように比較されるか？
• RQ4 小さな $ \alpha $ を持つNSVモデルが、3次元ナビエ＝ストークス方程式の統計的性質をどの程度引き継いでいるか？

主な発見

• 解析的外力下では、3次元NSV方程式のグローバルアトラクターは実解析関数から состояることを、漸近近似 $ v(x,t) $ のゲヴレクラス埋め込みによって示した。
• グローバルアトラクター上に存在する解は、系の双曲型的性質にもかかわらず、指数的に減衰するフーリエスペクトルを示しており、これは散逸領域を示している。
• 定常解の解析的半径の下界として $ \tau_B \geq C \frac{\nu^2}{\lambda_1^{3/2}\|u\|^2} \geq L(\ell/L)^4 $ を導出し、これはアトラクター上の一般解の下界と一致する。
• NSVおよびナビエ＝ストークス方程式の定常解の解析的半径の下界は、3次元ナビエ＝ストークス方程式における最小散逸長スケールの既知の下界と一致する。
• この結果により、小さな $ \alpha $ を持つ3次元NSVモデルが、散逸領域といった3次元ナビエ＝ストークス方程式の主要な統計的特徴を捉えていることが確認された。
• 低周波数と高周波数モードに分解し、ゲヴレノルムにおける重み付きエネルギー推定を用いる手法により、放物型の滑らかさを仮定せず、解析的性が成功裏に確立された。