[論文レビュー] Gibbs measures based on 1D (an)harmonic oscillators as mean-field limits

Mathieu Lewin, Phan Thành Nam+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 34被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、1次元（非調和的）調和振動子にサブ調和的ポテンシャルを用いたギブス測度が、多体系ボーズ量子系の平均場または高温極限として導出可能であることを確立している。非トレースクラスの密度行列の課題に対処するため、縮約密度行列にヒルベルト＝シュミット推定を導入し、非線形シュレーディンガーに基づくギブス測度の密度行列への強い収束を証明した。

ABSTRACT

We prove that Gibbs measures based on 1D defocusing nonlinear Schr{\\"o}dinger functionals with sub-harmonic trapping can be obtained as the mean-field/large temperature limit of the corresponding grand-canonical ensemble for many bosons. The limit measure is supported on Sobolev spaces of negative regularity and the corresponding density matrices are not trace-class. The general proof strategy is that of a previous paper of ours, but we have to complement it with Hilbert-Schmidt estimates on reduced density matrices.

研究の動機と目的

• 基底となるガウス測度がL²に値をとらない場合、および縮約密度行列がトレースクラスでない場合に、非線形ギブス測度の平均場導出を拡張すること。
• トレースクラスとウィック正規化済みケースの間の中間的状態に位置する、$-\partial_x^2 + |x|^s$（$s > 1$）の形をした捕獲ポテンシャルを有する1次元（非調和的）調和振動子の状況を扱うこと。
• 標準的なトレースクラス収束が失敗する状況においても、弱い位相空間（特にヒルベルト＝シュミットおよび局所トレースクラス）での収束を可能にする新しい解析的枠組みを構築すること。
• [34]で提起されたプログラムを完了するために、平均場極限における非トレースクラス縮約密度行列が引き起こす技術的障壁を克服すること。

提案手法

• [34]で開発された平均場極限戦略（当初はトレースクラス縮約密度行列にのみ有効）を、このような演算子がトレースクラスでない状況に適応すること。
• 縮約密度行列 $\Gamma_n^{(k)}$ にヒルベルト＝シュミット推定を導入し、弱い位相空間での収束を制御すること。
• 低エネルギー成分と高エネルギー成分の寄与を分離するための分解 $\Gamma_n^{(k)} = P^{\otimes k} \Gamma_n^{(k)} + Q \otimes \mathbb{1}^{\otimes k-1} \Gamma_n^{(k)}$ を用いること。
• 粒子数に関する和を $\varepsilon_n m \leq M$ および $\varepsilon_n m > M$ に分割し、$\varepsilon_n m$ に対するべき乗バウンドを用いて $\varepsilon_n^k \Gamma_n^{(k)}$ のトレースを推定すること。
• トレースクラスにおける $\varepsilon_n^k \Gamma_n^{(k)}$ の弱-*収束性と、$\operatorname{Tr}[(\varepsilon_n \mathcal{N})^{\ell} \Gamma_n]$ の一様有界性を活用し、剰余項を制御すること。
• $P \to \mathbb{1}$ および $M \to \infty$ の極限を取ることで、$\varepsilon_n^k \Gamma_n^{(k)}$ がトレースクラスにおいて $\gamma^{(k)}$ に強い収束することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非トレースクラスの縮約密度行列を有する1次元（非調和的）調和振動子に、$s > 1$ の場合にギブス測度が平均場極限として導出可能か？
• RQ2 標準的なトレースクラス位相が失敗する状況で、収束を制御するために必要な解析的手法は何か？
• RQ3 [34]の平均場導出プログラムを、$L^2$ ではなく $L^p$（$p > 2$）に値をとるガウス測度が存在する場合に拡張可能か？
• RQ4 ヒルベルト＝シュミット推定をどのように用いて、トレースクラスと正規化済み領域の間のギャップを埋めることができるか？
• RQ5 初期密度行列がトレースクラスでない場合、平均場極限において縮約密度行列の強い収束が成立するか？

主な発見

• 極限ギブス測度は負の正則性のソボレフ空間に台を持つため、基礎となる場の可積分性および正則性が低いことを示している。
• 極限測度の縮約密度行列はトレースクラスでないため、従来の研究で用いられる標準的な収束技法が無効となる。
• トレースクラス構造が欠如しているにもかかわらず、ヒルベルト＝シュミット推定を用いて、すべての $k \geq 1$ に対して $\varepsilon_n^k \Gamma_n^{(k)}$ がトレースクラスにおいて $\gamma^{(k)}$ に強い収束することを証明した。
• トレースポテンシャル $-\partial_x^2 + |x|^s$（$s > 1$）を有する1次元（非調和的）調和振動子に対して収束が成立し、調和振動子の場合 $s = 2$ も含む。
• 特定のポテンシャルの減衰性質を活用することで、正規化（例：ウィック順序付け）を回避し、相互作用測度を正規化なしに適切に定義可能である。
• 証明により、$\limsup_{n\to\infty} \varepsilon_n^k \operatorname{Tr}[\Gamma_n^{(k)}] \leq \operatorname{Tr}[\gamma^{(k)}]$ が成り立ち、極限で等号が成立することを示し、トレースクラスにおける収束を確認した。