[論文レビュー] Gibbsian and non-Gibbsian properties of the generalized mean-field fuzzy Potts-model

Benedikt Jahnel, Kuelske, Christof+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、平均場Potts模型の交互作用を2次相互作用から$ z \geq 2 $の高次相互作用に一般化し、Ellis-Wang定理の一般化を用いて、1次相転移の持続性を証明する。さらに、得られる曖昧なPotts模型が、逆温度$ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $のときかつそのときに限り非Gibbs的であることを確立し、臨界行動が最小クラスサイズ$ r_* $に依存することを示す。また、時間に依存する縮約スキームにおけるGibbs性の多重相転移の可能性を明らかにする。

ABSTRACT

We analyze the generalized mean-field q-state Potts model which is obtained by replacing the usual quadratic interaction function in the mean-field Hamiltonian by a higher power z. We first prove a generalization of the known limit result for the empirical magnetization vector of Ellis and Wang which shows that in the right parameter regime, the first-order phase-transition persists. Next we turn to the corresponding generalized fuzzy Potts model which is obtained by decomposing the set of the q possible spin-values into 1 < s < q classes and identifying the spins within these classes. In extension of earlier work which treats the quadratic model we prove the following: The fuzzy Potts model with interaction exponent bigger than four (respectively bigger than two and smaller or equal four) is non-Gibbs if and only if its inverse temperature is larger or equal than the critical inverse temperature of the corresponding Potts model with number of spin-labels equal to the size of the smallest class which is greater or equal than two (respectively greater or equal than three.) We also provide a dynamical interpretation considering sequences of fuzzy Potts models which are obtained by increasingly collapsing classes at finitely many times and discuss the possibility of a multiple in- and out of Gibbsianness, depending on the collapsing scheme.

研究の動機と目的

• 相互作用指数$ z \geq 2 $を有する一般化された平均場Potts模型へ、Ellis-Wang定理を拡張し、1次相転移の持続性を証明すること。
• 一般化されたPotts模型の粗粒度化から得られる曖昧なPotts模型のGibbs性を、特に$ z $の変化に応じて分析すること。
• 非Gibbs性が現れる臨界逆温度$ \beta_c(r_*, z) $を、最小クラスサイズ$ r_* $に応じて特徴づけること。
• スピンクラスの時間に依存する縮約スキームを導入し、動的粗粒度化の枠組みを構築し、Gibbs性における多重相転移を調査すること。

提案手法

• 2次相互作用を$ z $乗項に置き換えることで、平均場ハミルトニアンを一般化し、自由エネルギー関数が経験的測度に依存することを導出する。
• 対称性の簡約を用いて、EllisとWangの証明技法の拡張を適用し、自由エネルギー解析を1次元問題に還元する。
• 自由エネルギーの詳細な分岐解析を実施し、相転移の種類（1次対2次）を特定し、臨界点を同定する。
• Edwards-Sokalカップリングを用いて、一般化されたPotts模型を一般化されたランダムクラスタ測度（RCM）に関連させ、相転移を$ z $完全グラフ構造における確率的連結性に関連付ける。
• スピンクラスを逐次的に統合する離散時間の縮約スキーム$ \mathcal{A}_t $を導入し、動的粗粒度化をモデル化し、経路依存のGibbs性を研究する。
• 大偏差のヒューリスティクスとRCMに基づく分散推定を用いて、Potts模型における相転移がRCMにおける確率的連結性に対応することを示し、スケーリング関係$ p \sim \lambda / N^{z-1} $を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用指数$ z \geq 2 $を有する一般化された平均場Potts模型は、標準的な場合と同様に1次相転移を示すか？
• RQ2 一般化されたPotts模型の粗粒度化から得られる曖昧なPotts模型が、どのような条件下で非Gibbs的になるか？
• RQ3 臨界逆温度$ \beta_c(r_*, z) $は、最小クラスサイズ$ r_* $と相互作用指数$ z $にどのように依存するか？
• RQ4 時間に依存する縮約スキームにおいて、Gibbs性と非Gibbs性の間を複数回往復する相転移が生じ得るか、その条件は縮約スキームに依存するか？

主な発見

• 相互作用指数$ z > 4 $の一般化された平均場Potts模型は、$ q > 2 $のとき1次相転移を示し、Ellis-Wangの結果が高次相互作用へと拡張されることを示す。
• $ z > 4 $のとき、曖昧なPotts模型は、$ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $のときかつそのときに限り非Gibbs的であり、$ r_* \geq 2 $は最小クラスサイズを表す。
• $ 2 < z \leq 4 $のとき、非Gibbs性は$ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $のとき発生し、$ r_* \geq 3 $を要するため、クラスサイズに stricter 条件が課される。
• $ q = 2, z = 4 $で三重点が特定され、相転移が2次から1次に変わるため、非自明な臨界挙動が示唆される。
• 経験的磁化の分散が、一般化されたRCMにおける最大成分が非拡張的（sub-extensive）であるときにかつそのときに限り消えることから、相転移が確率的連結性と関連づけられる。
• 時間に依存する縮約スキームでは、クラスの縮約順序に依存して、Gibbs性と非Gibbs性の間を複数回往復する可能性があり、標準的な時間発展Gibbs測度とは異なった挙動を示す。