[論文レビュー] GIT Compactifications of M_{0,n} and Flips

Noah Giansiracusa, David Jensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

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ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^d$ 内の重み付き安定曲線を用いて、$M_{0,n}$ のモジュライ空間の大きな族を GIT コンパクト化として構成し、それらが $\overline{M}_{0,n}$、ハッセット空間、および新しいモジュラー・モデルを含むことを示している。線形化空間の完全なウォールとチャネル分解が得られ、それらのモデル間のフリップと除数的収縮を明示的に分類し、点付き genus 0 曲線のモジュライ空間間で初めて知られるモーリー理論的フリップを提示している。

ABSTRACT

We use geometric invariant theory (GIT) to construct a large class of compactifications of the moduli space M_{0,n}. These compactifications include many previously known examples, as well as many new ones. As a consequence of our GIT approach, we exhibit explicit flips and divisorial contractions between these spaces.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^d$ 内の $n$-点付き有理正規曲線における幾何的不変理論（GIT）を用いて、$M_{0,n}$ の包括的なコンパクト化族を構成すること。
• デリーニ・ムーディのコンパクト化 $\overline{M}_{0,n}$ やハッセットの重み付き空間といった既存のコンパクト化を、一つの GIT フレームワーク内で統一すること。
• 変動 GIT（VGIT）を用いて、これらのコンパクト化の双有理幾何を体系的に分析し、それらの間のフリップと除数的収縮を同定すること。
• VGIT のウォール交差に由来するフリップおよび収縮にモジュラー解釈を与えること、特に線形化がウォール上にある場合に注目すること。

提案手法

• コンパクト化を $U_{d,n}/\!\!/_{L} \operatorname{SL}(d+1)$ としてパラメトライズする。ここで $U_{d,n}$ は $\mathbb{P}^d$ 内の $n$-点付き有理正規曲線で、点が曲線上にあるものである。
• 曲線および各マークド点に重みを割り当てる有理数重みベクトル $L \in \mathbb{Q}_{>0}^{n+1}$ を用い、$\operatorname{SL}(d+1)$-作用の線形化を定義する。
• 変動 GIT（VGIT）を適用し、線形化空間をチャネルとウォールに分解し、ウォール交差がコンパクト化間の有理写像を誘導することを示す。
• ウォールにおける厳密に半安定な曲線を分類し、閉じた軌道を持つものを特定することで、誘導される双有理写像の精密な解析を可能にする。
• 部分集合のマークド点にわたる重みの和である $\sigma(I_k)$ などの数値的不変量を用い、安定領域の条件を決定し、ウォールを越える際の安定領域の変化を検出する。
• F-曲線クラスを用いて、写像がフリップか除数的収縮かをテストする。フリップは除数を収縮しないが、各側で異なる F-曲線を収縮するという事実を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $U_{d,n}$ の GIT 商が $M_{0,n}$ のコンパクト化を与えるか、そしてその線形化条件は何か？
• RQ2 これらのコンパクト化の間の双有理写像（特にフリップと除数的収縮）は、VGIT のウォール交差からどのように生じるか？
• RQ3 これらのコンパクト化間のフリップはモジュラー解釈を与えられるか。また、それらは以前に知られたモデルとは同型でないという意味で新規なものか？
• RQ4 どの条件下でウォール交差がフリップを誘導し、除数的収縮や曲線収縮を誘導しないか？
• RQ5 $M_{0,n}$ のコンパクト化のうち、スミスの意味でモジュラーでないものはあるか。それらは GIT の構成から生じ得るか？

主な発見

• $L$ が安定性チャネル $\Delta^\circ$ の内部にあるすべての $L$ に対して、GIT 商 $U_{d,n}/\!\!/_{L} \operatorname{SL}(d+1)$ は $M_{0,n}$ のコンパクト化であり、$M_{0,n}$ を保存する $\overline{M}_{0,n} \to U_{d,n}/\!\!/_{L} \operatorname{SL}(d+1)$ の正則な双有理な準同型が存在する。
• 線形化空間は VGIT を用いて有限個のウォールとチャネルに分解可能であり、各ウォール交差は、フリップ、除数的収縮、または曲線収縮のいずれかである有理写像を誘導する。
• $d=5$, $n=19$, 重み $\gamma = \frac{4}{9} \pm \epsilon$ の場合、コンパクト化間の写像 $f^+$ と $f^-$ はフリップである：$f^+$ は F-曲線 $(10,7,1,1)$ を収縮し、$f^-$ は $(12,5,1,1)$ を収縮するが、いずれも除数を収縮しない。
• $U_{5,19}/\!\!/_{\frac{4}{9},\vec{\frac{2}{9}}} \operatorname{SL}(6)$ のコンパクト化は、スミスの意味での任意のモジュラーコンパクト化と同型でない。これは厳密に半安定な点を含み、チャネル線形化を用いた $U_{d,n}$ の幾何的商として生じないためである。
• 本稿では、特定の極端な割り当て（例えば、互いに素な添字集合からなるテイルを収縮するもの）が、$U_{d,n}$ の GIT 商として実現できないことを示しており、すべてのモジュラーコンパクト化がこの GIT 構成から生じるわけではないことを証明している。