[論文レビュー] Global Anomalies and Geometric Engineering of Critical Theories in Six Dimensions

M. Bershadsky, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Mar 24, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、6次元 $N=1$ スーパーコンフォーマル場理論（SCFT）における $SU(2)$、$SU(3)$、$G_2$ のグローバルゲージ異常を同定し、それらが離散的 $bZ_{12}$、$bZ_6$、$bZ_3$ 異常を通じて物質内容を制約することを示している。F-theoryを用いたカルラビ＝ヤウ3-foldへの compactification を用いて、1つのテンソル multiplet を持つ既知のすべてのモデルを幾何学的に実現し、それとは別に、場理論的アナログを持たない3つの新しい無限系列を発見した。これらはすべて、最大ヒッグス化した段階において、インスタントン数 $(12+n,12-n)$ を持つ $E_8 \times E_8$ ヒエラルティック compactification と等価である。

ABSTRACT

We show the existence of global gauge anomalies in six dimensions for gauge groups SU(2),SU(3) and G_2 coupled to matter, characterized by an element of Z_{12},Z_6 and Z_3 respectively. Consideration of this anomaly rules out some of the recently proposed 6 dimensional N=1 QFT's which were conjectured to possess IR fixed point at infinite coupling. We geometrically engineer essentially all the other models with one tensor multiplet using F-theory. In addition we construct 3 infinite series using F-theory geometry which do not have field theory analogs. All these models in the maximally Higgsed phase correspond to the strong coupling behaviour of E_8 x E_8 heterotic string compactification on K3 with instanton numbers (12+n,12-n).

研究の動機と目的

• 6次元 $N=1$ 量子場理論における $SU(2)$、$SU(3)$、$G_2$ のゲージ群を有するグローバルゲージ異常を同定・分類すること。
• これらの異常によって、無限小カップリングにおける存在が予想された候補となる6次元スーパーコンフォーマル場理論（SCFT）の物質内容がどのように制約されるかを特定すること。
• カルラビ＝ヤウ3-fold への F-theory compactification を用いて、1つのテンソル multiplet を持つ既知のすべての6次元SCFTを幾何学的にエンジニアリングすること。
• 場理論的実現を持たないF-theoryを用いた新しい無限系列の6次元SCFTを構成し、ゼロサイズインスタントンの概念を一般化すること。
• すべてのこのような理論が、最大ヒッグス化段階において、インスタントン数 $(12+n,12-n)$ を持つ $E_8 \times E_8$ ヒエラルティック超弦の強い結合定数極限と等価であることを示すこと。

提案手法

• [6] における埋め込み法を用い、$ ilde{\pi}_6(G')$ が自明なより大きな群 $G'$ における局所異常と $G$ におけるグローバル異常を関連づけ、特性類を用いて計算可能にする。
• 5形式 $ ilde{\gamma}_5$ を用いた異常流入機構を適用し、$Tr(g^{-1}dg)^5 + d\eta$ から構成される。$S^5$ 上での積分が異常位相を検出する。
• $ ilde{\pi}_6(SU(2)) = \bbZ_{12}$、$ ilde{\pi}_6(SU(3)) = \bbZ_6$、$ ilde{\pi}_6(G_2) = \bbZ_3$ を用い、可能なグローバル異常を分類する。
• 特異点を持つカルラビ＝ヤウ3-fold への F-theory compactification を構築し、SCFT のゲージ群と物質内容を実現する。
• 7-brane の配置と正則曲線の幾何を用い、$SU(N)$ および $SO(N)$ ゲージ理論をそれぞれ $N_f = 2N$ および $N_f = N-8$ の基礎表現で実現する。
• 双対性を用いて、得られたSCFTを $K3$ 上の $E_8 \times E_8$ ヒエラルティック compactification にマッピングし、最大ヒッグス化段階におけるインスタントン数 $(12+n,12-n)$ を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $N=1$ 理論における $SU(2)$、$SU(3)$、$G_2$ ゲージ群のグローバルゲージ異常は何か？ それらは物質内容にどのように制約を加えるか？
• RQ2 無限小カップリングにおける固定点を持つと予想された6次元SCFTは、グローバル異常によって除外可能か？
• RQ3 F-theoryを用いたカルラビ＝ヤウ3-fold への compactification は、場理論的アナログを持たない6次元SCFTをどのように幾何学的にエンジニアリングできるか？
• RQ4 幾何学的にエンジニアリングされたSCFTと、$K3$ 上の $E_8 \times E_8$ ヒエラルティック超弦の強い結合定数極限との間の双対性関係は何か？
• RQ5 F-theoryの幾何を用いて発見された新しい無限系列のSCFTは、ゼロサイズインスタントン物理学の一般化に対応するか？

主な発見

• 6次元における $SU(2)$、$SU(3)$、$G_2$ のグローバル異常は、それぞれ離散的 $bZ_{12}$、$bZ_6$、$bZ_3$ 位相によって分類され、非自明な $ ilde{\pi}_6(G)$ に起因する。
• $SU(2)$ の6次元異常は、ウィッテンの4次元異常を一般化したものであり、$S^5$ 上で積分された5形式 $ ilde{\gamma}_5$ を用いて計算され、位相 $\exp(2\pi i A_R / n!)$ を与える。
• カルラビ＝ヤウ3-fold への F-theory compactification は、1つのテンソル multiplet を持つすべての既知の6次元SCFTを実現し、$SU(N)$ および $SO(N)$ ゲージ群と特定の物質内容を含む。
• F-theoryの幾何を用いて、場理論的アナログを持たない3つの新しい無限系列の6次元SCFTが構成され、一般化されたゼロサイズインスタントン物理学に対応する。
• すべての幾何学的にエンジニアリングされたSCFTは、最大ヒッグス化段階において、インスタントン数 $(12+n,12-n)$ を持つ $E_8 \times E_8$ ヒエラルティック超弦の強い結合定数極限と等価である（$1 \leq n \leq 12$）。
• $SO(N)$ シリーズ（$N-8$ 基礎表現）および $SU(N)$ シリーズ（$2N$ 基礎表現）は、それぞれ $T^*\bbP^1$ および $T^*\bbP^1/\bbZ_2$ 上の D-brane 配置により実現され、異常キャンセリングの要件として $N_f = 2N$ および $N_f = N-8$ が要求される。